Weierstraß-Substitution

Die Weierstraß-Substitution (auch unter Halbwinkelmethode bekannt) ist eine Methode aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist eine Variante der Integration durch Substitution, die auf bestimmte Integranden mit trigonometrischen Funktionen angewendet werden kann. Benannt ist die Methode nach dem Mathematiker Karl Weierstraß, der sie entwickelte.<ref> </ref>

Beschreibung der Substitution

Seien <math>a<b</math> zwei reelle Zahlen und <math>R</math> eine rationale Funktion. Um ein Integral der Form

<math>\int_a^b R(\sin(x), \cos(x)) \, dx</math>

zu berechnen, kann die Substitution

<math>\tan \left(\frac{x}{2}\right) = t</math>

für <math>|x| < \pi</math> angewandt werden. Für die Funktionen Sinus und Kosinus ergeben sich dann die Substitutionen

<math>\begin{align}

\sin x &= \frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{align}</math>

und für das Differential gilt

<math>dx = \frac{2 \, dt}{1+t^2}</math>.

Da sich die Funktionen Tangens <math>\tan</math>, Kotangens <math>\cot</math>, Sekans <math>\sec</math> und Kosekans <math>\csc</math> als Brüche mit Sinus und Kosinus schreiben lassen, kann auch auf diese trigonometrischen Funktionen die Weierstraß-Substitution angewandt werden. Die Substitutionen lauten

<math>\begin{align}

\tan x &= \frac{2t}{1-t^2}\\ \cot x &= \frac{1-t^2}{2t}\\ \csc x &= \frac{1 + t^2}{2t}\\ \sec x &= \frac{1 + t^2}{1 - t^2}\,. \end{align}</math>

Alternativ kann ein Integral von der obigen Form auch auf funktionentheoretische Weise gelöst werden. Dabei wird das reelle Intervall in ein komplexes Gebiet transformiert und anschließend der Residuensatz angewendet.

Beispiel

Die Generalsubstitution ist geeignet, die trigonometrischen Funktionen bei der Berechnung des Integrals zu eliminieren, wie das folgende Beispiel zeigt.

<math>\int \frac{2}{3+\cos(x)} \, dx = \int \frac{2}{(3+\frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2}{(1+t^2)} \, dt = \int \frac{4}{3+3t^2+1-t^2} \, dt = \int \frac{2}{2+t^2} \, dt</math>

Dieses Integral lässt sich nun mit einer weiteren Integration durch Substitution berechnen. Das Ergebnis ist

<math>\int \frac{2}{2+t^2}dt ={\it } \sqrt {2}\arctan \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\,t\right)</math>

Die Rücksubstitution mit <math>t= {\frac {\sin \left( x \right) }{\cos \left( x \right) +1}}</math> ergibt

<math>\int \frac{2}{3+\cos(x)}dx = \sqrt {2}\arctan \left( 1/2\,{\frac {\sin \left( x \right) \sqrt {2}}{\cos \left( x \right) +1}} \right)</math>

Dieses Ergebnis ist nur für <math> |x| \le \pi </math> richtig, da es Sprungstellen für alle <math>x=(2n+1)\pi , n \in \mathbb{Z}</math> hat. Außerdem ist diese Stammfunktion periodisch, obwohl der Integrand überall positiv ist. Man kann dies korrigieren, indem man den Mittelwert

<math>\frac{1}{2\pi}\int _{-\pi} ^{\pi}\frac{2}{3+\cos(x)}dx=\frac{\sqrt{2}}{2}</math>

wie oben berechnet und das folgende Integral

<math>\int \left(\frac{2}{3+\cos(x)}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)dx</math>

wie oben durch die Substitution bestimmt. Dadurch bekommt der Integrand den Integralmittelwert Null und die Stammfunktion wird periodisch. Die Rücksubstitution ergibt dann das korrekte Ergebnis

<math>\frac{1}{2}\,x\sqrt {2}-\sqrt {2}\arctan \left( {\frac {\sin \left( x \right) \left( 2-\sqrt {2} \right) }{ \left( 2-\sqrt {2} \right) \cos \left( x \right) +2+\sqrt {2}}} \right) </math>

Dieses Ergebnis liefert auch das Computeralgebraprogramm DERIVE, das nicht mehr verfügbar ist.

Herleitung

In diesem Abschnitt werden die Substitutionsformeln für Sinus und Kosinus hergeleitet. Mit den Additionstheoremen erhält man:

<math> \sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 2t \cdot \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)</math>

<math>t = \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}

\Longrightarrow \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1-\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}{t^2} \Longrightarrow \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{1+t^2}</math>.

Zusammen hat man die Darstellung oben für <math> \sin(x) </math>. Die Darstellung für <math> \cos(x) </math> erhält man wie folgt:

<math> \cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)} = \sqrt{1 - \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} } = \frac{1-t^2}{1+t^2} </math> für <math>x\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>,

<math> \cos(x) = -\sqrt{1-\sin^2(x)} = -\sqrt{1 - \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} } = \frac{1-t^2}{1+t^2} </math> für <math> x\in \left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]</math>.

Die Ableitung von <math>x</math> nach <math>t</math> ergibt sich mit:

<math> t = \tan\left( \frac{x}{2} \right) \iff x = 2 \cdot \arctan(t) \Rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2} </math>.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Weierstrass Substitution. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

<references />