Wittvektor

Wittvektoren sind eine von dem Mathematiker Ernst Witt eingeführte<ref>Originalarbeit: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Verallgemeinerung der Konstruktion der (ganzen) p-adischen Zahlen auf beliebige perfekte Restklassenkörper. Neben diesen <math>p</math>-typischen Wittvektoren gibt es die großen Wittvektoren, aus denen sich die <math>p</math>-typischen Wittvektoren für beliebiges <math>p</math> rekonstruieren lassen.

p-typische Wittvektoren

Sei <math>p</math> eine feste Primzahl. Für einen Ring <math>A</math> (kommutativ, mit Einselement) bilden die Wittvektoren einen von <math>p</math> abhängenden Ring <math>W_p(A)</math>. Er ist vor allem für Ringe <math>A</math> der Charakteristik <math>p</math> interessant, die Konstruktion macht es aber erforderlich, auch andere Ringe zuzulassen.

Motivation

Sei <math>n>1</math> eine ganze Zahl. Als Approximation an eine alternative Konstruktion der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Z_p</math> soll zunächst nur unter Verwendung der Addition und Multiplikation im Körper <math>\mathbb{F}_p=\Z/p\Z</math> ein zum Restklassenring <math>\Z/p^n\Z</math> isomorpher Ring, bezeichnet mit <math>W_{p,n}(\mathbb{F}_p)</math>, konstruiert werden.

Der erste, naive Ansatz dazu wäre die Verwendung der Abbildung <math>\sigma: \mathbb{F}_p\to\Z/p^n\Z</math>, die für ganze Zahlen <math>0\leq k<p</math> die Restklasse von <math>k</math> in <math>\mathbb{F}_p=\Z/p\Z</math> auf die Restklasse von <math>k</math> in <math>\Z/p^n\Z</math> abbildet. Die Bijektion

<math>\mathbb{F}_p^n\to\Z/p^n\Z,\ \ (x_0,x_1,\dots,x_{n-1})\mapsto\sigma(x_0)+p\sigma(x_1)+\dots+p^{n-1}\sigma(x_{n-1})</math>

entspricht der Darstellung von ganzen Zahlen in <math>\{0,1,\dots,p^n-1\}</math> im Stellenwertsystem zur Basis <math>p</math>. Die von <math>\Z/p^n\Z</math> übertragene Addition ist dann im Fall <math>n=2</math>:

wobei <math>c(x_0,y_0)</math> der Übertrag ist. Diese Konstruktion lässt sich nicht gut auf andere Körper als <math>\mathbb{F}_p</math> verallgemeinern, auch weil die Definition von <math>\sigma</math> von dem aus algebraischer Sicht ungünstigen Vertretersystem <math>\{0,1,\dots,p-1\}\subset\Z</math> Gebrauch macht.

Der korrekte Ansatz basiert auf der folgenden Aussage aus der elementaren Zahlentheorie: Für ganze Zahlen <math>u,v</math> gilt:

<math>u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^n</math>

(siehe Kongruenz (Zahlentheorie)). Das bedeutet: Ist <math>x\in\mathbb{F}_p=\Z/p\Z</math> und <math>u\in\Z</math> ein Vertreter von <math>x</math>, dann hängt die Restklasse von <math>u^{p^{n-1}}</math> in <math>\Z/p^n\Z</math> nur von <math>x</math>, nicht jedoch von der Wahl von <math>u</math> ab. Wir schreiben suggestiv <math>x^{p^{n-1}}</math> für dieses Element von <math>\Z/p^n\Z</math>. (Diese Abbildung <math>\mathbb{F}_p\to\Z/p^n\Z</math> ist im Wesentlichen das Teichmüller-Vertretersystem für die <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Z_p</math>.) Allgemeiner hängt auch die Restklasse von <math>p^ku^{p^{n-1-k}}</math> nicht von <math>u</math> selbst ab, wir scheiben <math>p^k x^{p^{n-1-k}}</math>.

Weil jeweils <math>\mathbb{F}_p\to p^k\Z/p^{k+1}\Z</math>, <math>x\mapsto p^k x^{p^{n-1-k}}</math> bijektiv ist, erhalten wir durch Aufaddieren eine bijektive Abbildung:

<math>\begin{align} w_{n-1}{:}\ &\mathbb{F}_p^n\to\Z/p^n\Z,\\ &(x_0,x_1,\dots,x_{n-1})\mapsto x_0^{p^{n-1}}+px_1^{p^{n-2}}+\dots+p^k x_k^{p^{n-1-k}}+\dots+p^{n-1}x_{n-1} \end{align}</math>

Sei <math>W_{p,n}(\mathbb{F}_p)</math> die Menge <math>\mathbb{F}_p^n</math> zusammen mit derjenigen Addition und Multiplikation, die <math>w_{n-1}</math> zu einem Isomorphismus machen.

Sei nun speziell <math>n=2</math> und damit <math>w_1(x_0,x_1)=x_0^p+px_1</math>. Sollen zwei Vektoren <math>(x_0,x_1)</math> und <math>(y_0,y_1)</math> addiert werden, also <math>(x_0,x_1)+(y_0,y_1)=(z_0,z_1)</math>, dann erhält man modulo <math>p</math> die Gleichung <math>z_0^p=x_0^p+y_0^p</math>, also <math>z_0=x_0+y_0</math>. Damit ist

Das Polynom

hat durch <math>p</math> teilbare Koeffizienten, ist also gleich <math>p\cdot S_1'(X,Y)</math> mit einem Polynom <math>S_1'(X,Y)\in\Z[X,Y]</math>. Damit ist

also insgesamt

Die Assoziativität der Addition übersetzt sich in eine Gleichung

Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Gleichung bereits entsprechend in <math>\Z[X,Y,Z]</math> gilt. Das bedeutet, dass man für einen beliebigen kommutativen Ring <math>A</math> durch die Festlegung

die Struktur einer abelschen Gruppe auf <math>W_{p,2}(A)=A^2</math> definieren kann. Entsprechendes gilt für

mit <math>P_1(X_0,X_1,Y_0,Y_1)=X_0^p Y_1 + X_1 Y_0^p + p X_1 Y_1</math>, so dass <math>W_{p,2}(A)</math> zu einem kommutativen Ring mit Einselement <math>(1,0)</math> wird.

Definition

Bezeichne <math>\N_0</math> die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Weiterhin ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome <math>S_i,P_i\in\Z[X_0,\dots,X_i,Y_0,\dots,Y_i]</math> für jedes <math>i\in\N_0</math> derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement <math>A</math> gilt: <math>W_p(A)=A^{\N_0}</math> ist ein Ring mit Addition:

und Multiplikation

und für jedes <math>n\in\N_0</math> ist die Abbildung

<math>W_p(A)\to A,\ \ x\mapsto x_0^{p^n}+px_1^{p^{n-1}}+\dots+p^k x_k^{p^{n-k}}+\dots+p^n x_n</math>

ein Ringhomomorphismus. <math>W_p(A)</math> heißt Ring der <math>p</math>-typischen Wittvektoren mit Einträgen aus <math>A</math>. Ist nur die Rede von <math>p</math>-typischen Wittvektoren, wird nur <math>W(A)</math> geschrieben.

Für <math>n\in\N_1</math> ist <math>W_{p,n}(A)=A^n</math> mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement, der Ring der <math>p</math>-typischen Wittvektoren der Länge <math>n</math>.<ref>James Borger hat Argumente dafür vorgebracht, die Nummerierung <math>W_{p,n}(A)=A^{n+1}</math> für <math>n=0,1,2,\dots</math> zu bevorzugen, siehe Borger 2011, 2.5</ref>

Das Ringelement

wird als <math>n</math>-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von <math>x\in W_p(A)</math> bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

kann man <math>S_n</math> und <math>P_n</math> rekursiv berechnen:

<math>\begin{align}

S_n(X,Y) &= \frac{1}{p^n} \left(w_{p,n}(X) + w_{p,n}(Y) - \sum_{k=0}^{n-1} p^k S_k^{p^{n-k}}(X,Y) \right) \\ P_n(X,Y) &= \frac{1}{p^n} \left(w_{p,n}(X)\cdot w_{p,n}(Y) - \sum_{k=0}^{n-1} p^k P_k^{p^{n-k}}(X,Y) \right) \end{align} </math> Beispiele:

<math>\begin{align}

S_0(X,Y) &= X_0 + Y_0 \\ S_1(X,Y) &= X_1 + Y_1 - \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{p} \binom{p}{k} X_0^k Y_0^{p-k} \\ P_0(X,Y) &= X_0 Y_0 \\ P_1(X,Y) &= X_0^p Y_1 + X_1 Y_0^p + p X_1 Y_1 \end{align} </math>

Auch die Negation <math>x\mapsto -x</math> im Ring <math>W_p(A)</math> ist durch universelle Polynome gegeben. Für <math>p\ne 2</math> ist:

Für <math>p=2</math> ist dagegen <math>-(x_0,x_1,x_2,\dots)=(I_0(X),I_1(X),I_2(X),\dots)</math> mit

<math>\begin{align}

I_0(X) &= -X_0 \\ I_1(X) &= -X_0^2 - X_1 \\ I_2(X) &= -X_0^4 - X_0^2 X_1 - X_1^2 - X_2 \end{align} </math>

Die Abbildung <math>\tau \colon A\to W_p(A),\ a\mapsto(a,0,0,\dots)</math> ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem (nach Oswald Teichmüller).

Beweisskizze

Die rekursive Beschreibung liefert <math>S_n,P_n\in\Q[X,Y]</math>. Um einerseits die Ganzzahligkeit, andererseits die Ringeigenschaften nachzuweisen, zeigt der klassische Beweisansatz allgemeiner:<ref>Hazewinkel 2009, Theorem 5.2. Bourbaki verwendet stattdessen eine Charakterisierung des Bilds von <math>w: W_p(A)\to A^{\N_0}</math> und erhält die universellen Polynome durch Spezialisierung auf Polynomringe <math>A</math>.</ref>

Lemma. Ist <math>\phi\in\Z[X,Y]</math> ein Polynom (z. B. <math>\phi(X,Y)=X+Y</math>), dann gibt es eindeutig bestimmte ganzzahlige Polynome <math>\phi_n\in\Z[X_0,\dots,X_n,Y_0,\dots,Y_n]</math> mit

für alle <math>n</math>. Entsprechende Versionen dieser Aussage gelten auch für <math>X,Y,Z</math> statt <math>X,Y</math> oder auch nur <math>X</math>.

Rationale Eindeutigkeit ist klar, der Ganzzahligkeitsbeweis beruht auf den Eigenschaften <math>w_{p,n}(X)\equiv w_{p,n-1}(X^p)\mod p</math> und <math>f(X^p)\equiv f(X)^p\mod p</math> sowie der oben erwähnten Implikation

<math>u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^n</math>

Die Ringeigenschaften von <math>W_p(A)</math> folgen aus der Eindeutigkeitsaussage des Lemmas: Sowohl <math>x+(y+z)</math> als auch <math>(x+y)+z</math> sind durch Polynome gegeben, die Lösungen der folgenden Gleichung sind:

Also sind diese Polynome gleich.

Ein anderer Beweisansatz verwendet die Identifikation des Rings der großen Wittvektoren mit dem Ring <math>\Lambda(A)</math>, siehe unten.

Einfache Eigenschaften

<math>W_{p,1}(A)</math> kann mit <math>A</math> identifiziert werden, und <math>w_{p,0}: W_p(A)\to A</math> mit der Projektion <math>x\mapsto x_0</math>. Alle Projektionen <math>W_p(A)\to W_{p,n}(A)</math> sind surjektive Ringhomomorphismen, und

<math>W_p(A)=\varprojlim_n W_{p,n}(A)</math>

(siehe Projektiver Limes)

<math>W_p(\mathbb{F}_p)=\Z_p</math> und <math>W_{p,n}(\mathbb{F}_p)=\Z/p^n\Z</math>
Wenn <math>p</math> in <math>A</math> invertierbar ist, dann ist die Abbildung auf die Geisterkomponenten <math>w_p: W_p(A)\to A^{\N_0}</math> ein Ringisomorphismus.
Weitere Beispiele (unter beiden Isomorphismen entspricht <math>X</math> dem Vektor <math>(0,1)</math>):

<math>\begin{align} & W_{p,2}(\Z)\cong\Z[X]/(X^2-pX) \\

& W_{p,2}(\Z/p^2\Z)\cong\Z/p^3\Z[X]/(X^2-pX,pX-p^2) \end{align} </math>

W(k) für perfekte Körper k

Sei <math>k</math> ein perfekter Körper der Charakteristik <math>p</math>. Dann ist <math>W_p(k)</math> ein vollständiger diskreter Bewertungsring gemischter Charakteristik (d. h. <math>\text{char}(W_p(k))=0</math>), dessen maximales Ideal von <math>p</math> erzeugt wird. Diese Eigenschaft charakterisiert <math>W_p(k)</math> bis auf Isomorphie.

Wittvektoren spielen eine wichtige Rolle in der Strukturtheorie vollständiger lokaler Ringe (nach I. S. Cohen):

Satz von Teichmüller-Witt: Ist <math>(A,\mathfrak{m})</math> ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit Restklassenkörper <math>k</math>, dann gibt es genau einen Homomorphismus <math>W_p(k)\to A</math>, so dass die Verkettung mit der Projektion <math>A\to k</math> gleich der Projektion <math>W_p(k)\to k</math> ist. Es gibt genau einen multiplikativen Schnitt <math>\tau_A \colon k\to A</math> der Projektion <math>A\to k</math>, genannt Teichmüller-Vertretersystem, und die Abbildung <math>W_p(k)\to A</math> ist:<ref>Demazure-Gabriel, V §4, 2.1</ref>

<math>x\mapsto\sum_{n=0}^\infty p^n\cdot\tau_A(x_n^{1/p^n})</math>

<math>A</math> ist als <math>W_p(k)</math>-Algebra isomorph zu einem Quotienten von <math>W_p(k)T_1,\dots,T_m</math> mit <math>m=\dim_k(\mathfrak m/(\mathfrak m^2+pA))</math>.
Ist <math>p</math> kein Nullteiler in <math>A</math>, dann gibt es Elemente <math>t_1,\dots,t_{d-1}</math> mit <math>d=\dim(A)</math>, so dass der induzierte Homomorphismus <math>W_p(k)[[T_1,\dots,T_{d-1}]]\to A</math> injektiv ist und <math>A</math> als <math>W_p(k)[[T_1,\dots,T_{d-1}]]</math>-Modul endlich erzeugt ist.
Im Spezialfall <math>d=1</math> bedeutet das genauer: Ist <math>(A,\mathfrak{m})</math> ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Restklassenkörper <math>k</math>, dann ist <math>A</math> eine endliche Erweiterung von <math>W_p(k)</math> vom Grad <math>e</math>, wenn <math>e</math> die normalisierte Bewertung von <math>p</math> ist, also <math>pA=\mathfrak{m}^e</math> gilt.

Für nicht perfekte Körper übernehmen Cohen-Ringe die Rolle von <math>W_p(k)</math>.

Frobenius und Verschiebung

In Charakteristik p

Sei <math>A</math> ein Ring der Charakteristik <math>p</math>. Die Verschiebung ist die Abbildung

<math>\begin{align} V{:}\ & W_p(A)\to W_p(A),\\

& (x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_0,x_1,x_2,\dots) \end{align} </math> Sie ist ein Homomorphismus der additiven Gruppen. Durch Abschneiden erhält man induzierte Homomorphismen

<math>\begin{align} & W_{p,n}(A)\to W_{p,n+1}(A),\\

& (x_0,x_1,\dots,x_{n-1})\mapsto(0,x_0,x_1,\dots,x_{n-1}) \end{align} </math> Der Frobeniushomomorphismus (in Anlehnung an den Frobeniushomomorphismus von Körpern der Charakteristik <math>p</math>) ist die Abbildung

<math>\begin{align} F{:}\ & W_p(A)\to W_p(A),\\

& (x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto(x_0^p,x_1^p,x_2^p,\dots) \end{align} </math> Sie ist ein Ringhomomorphismus, der sich zu Ringhomomorphismen <math>W_{p,n}(A)\to W_{p,n}(A)</math> einschränkt. Sei <math>[p]</math> die Multiplikation mit <math>p</math> auf <math>W_p(A)</math>. Dann ist

somit

insbesondere

Außerdem ist

Frobenius und Verschiebung sind Spezialfälle einer allgemeineren Konstruktion, siehe Frobeniushomomorphismus#Verschiebung.

Sei <math>K</math> der Quotientenkörper von <math>W_p(\mathbb{F}_q)</math>. Dann ist <math>F</math> der (arithmetische) Frobeniusautomorphismus für die Körpererweiterung <math>K/\Q_p</math>.

Dieudonné-Ring

Sei <math>k</math> ein perfekter Körper der Charakteristik <math>p</math>. Schreibt man <math>W=W_p(k)</math> und <math>W^\sigma</math> für den <math>W</math>-Modul <math>W</math>, bei dem die Modulstruktur durch <math>F</math> gegeben ist, dann erhält man Modulhomomorphismen

<math>F \colon W\to W^\sigma,\ \ V \colon W^\sigma\to W</math>

in Analogie zu Frobenius und Verschiebung für algebraische Gruppen in Charakteristik <math>p</math>. Ist allgemeiner <math>M</math> ein <math>W</math>-Modul zusammen mit zwei Modulhomomorphismen <math>F \colon M\to M^\sigma</math> und <math>V \colon M^\sigma\to M</math>, kann man diese Struktur zusammenfassen als Modul für den Dieudonné-Ring <math>D_k</math> (nach Jean Dieudonné), den nichtkommutativen Ring, der von <math>W_p(k)</math> und zwei Symbolen <math>\mathbf{F},\mathbf{V}</math> erzeugt wird, mit den Relationen

<math> \begin{align}

& \mathbf{V}\cdot\mathbf{F}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{V}=p \\ & \mathbf{V}\cdot F(a)=a\cdot\mathbf{V} \\ & \mathbf{F}\cdot a=F(a)\cdot\mathbf{F} \end{align} </math> Die klassische Dieudonné-Theorie ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen und bestimmten <math>D_k</math>-Moduln. Siehe auch unten.

Allgemein

Für beliebige Ringe <math>A</math> muss die Definition des Frobeniushomomorphismus modifiziert werden: er ist durch die Gleichung <math>w_{p,n+1}=w_{p,n}\circ F</math> charakterisiert. Insbesondere ist die 0-te Komponente <math>F_0(x)=x_0^p+px_1</math>. Der Frobeniushomomorphismus ist auch im allgemeinen Fall ein Ringhomomorphismus. Es gilt<ref>Bourbaki, IX §1 Proposition 3. Hazewinkel 2009, 5.30</ref>

<math>Fx\equiv x^p\mod pW(A)</math>

Durch Abschneiden erhält man Ringhomomorphismen

(also nicht mehr mit Ziel <math>W_{p,n}(A)</math> wie im Fall der Charakteristik <math>p</math>). Allgemein gilt immer noch

und

Frobeniuslifts und Komonadenstruktur {{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}

Sei <math>A</math> ein <math>p</math>-torsionsfreier Ring. Ein Frobeniuslift ist ein Ringhomomorphismus <math>\sigma \colon A\to A</math> mit <math>\sigma(a)\equiv a^p\mod pA</math>. Für einen Frobeniuslift existiert nach Dieudonné-Cartier eine eindeutig bestimmte Fortsetzung <math>s \colon A\to W_p(A)</math>, für die <math>w_{p,n}\circ s=\sigma^n</math> für alle <math>n</math> gilt. Sie erfüllt <math>F\circ s=s\circ\sigma</math>. Da <math>W_p(A)</math> selbst über den Frobeniuslift <math>F</math> verfügt, erhält man zunächst für <math>p</math>-torsionsfreie Ringe und durch universelle Formeln für beliebige Ringe eine natürliche Transformation <math>\mu \colon W_p\to W_p\circ W_p</math>, die durch <math>w_{p,n}\circ\mu=F^n</math> charakterisiert ist. Sie wird auch Artin-Hasse-Exponentialfunktion genannt, siehe auch unten, und definiert eine Komonade <math>(W_p,\mu,w_0)</math>.<ref>Illusie 1979, S. 508. Bourbaki, IX §1 Ex. 14, 15</ref>

Die Restriktion auf <math>p</math>-torsionsfreie Ringe lässt sich dadurch beseitigen, dass man zu <math>p</math>-Derivationen übergeht: Für einen Ring <math>A</math> ist eine <math>p</math>-Derivation eine Abbildung <math>\delta \colon A\to A</math>, für die die Abbildung

<math>s_{2,\delta} \colon A\to W_{p,2}(A),\ a\mapsto(a,\delta(a))</math>

ein Ringhomomorphismus ist. Konkret bedeutet das, dass <math>\delta</math> die folgenden Gleichungen erfüllt:

<math>\begin{align} & \delta(1) = 0 \\

& \delta(a + b) = S_1(a,\delta(a),b,\delta(b)) = \delta(a) + \delta(b) + \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{p}\binom{p}{k} a^k b^{p-k} \\ & \delta(ab) = P_1(a,\delta(a),b,\delta(b)) = a^p\delta(b) + \delta(a)b^p + p\cdot \delta(a) \delta(b) \end{align} </math> Eine <math>p</math>-Derivation <math>\delta</math> definiert durch <math>w_{p,1}\circ s_{2,\delta} \colon a\mapsto a^p+p\cdot\delta(a)</math> einen Frobeniuslift auf <math>A</math>. Ist <math>A</math> torsionsfrei, erhält man umgekehrt aus einem Frobeniuslift <math>\sigma</math> eine <math>p</math>-Derivation

<math>\delta \colon A\to A,\ \delta(a)=\frac{\sigma(a)-a^p}{p}</math>

Ein Ring zusammen mit einer <math>p</math>-Derivation wird als δ-Ring bezeichnet.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Die Situation ist insofern analog zu gewöhnlichen Derivationen <math>d \colon A\to A</math>, als diese sich dadurch charakterisieren lassen, dass <math>A\to A[T]/T^2,\ a\mapsto (a,d(a))</math> ein Ringhomomorphismus ist.

Die Koalgebren für die oben definierte Komonade können mit den δ-Ringen identifiziert werden. Insbesondere ist <math>W_p</math> rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der δ-Ringe in die Kategorie der Ringe.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Es existiert auch eine duale Beschreibung basierend auf der „Plethorie“ <math>\Lambda_p</math>, die <math>W_p</math> als Endofunktor der Kategorie der Ringe darstellt.<ref>Borger-Wieland 2005</ref>

Weitere Eigenschaften in Charakteristik p

Sei <math>A</math> ein Ring mit <math>pA=0</math>.

Wenn <math>A</math> ein Integritätsbereich ist, dann auch <math>W_p(A)</math>, und es gilt <math>\text{char}(W_p(A))=0</math>.
Die Einheiten von <math>W_p(A)</math> sind genau die Elemente <math>x</math> mit <math>x_0\in A^*</math>.
Wenn <math>A</math> ein Körper ist, dann ist <math>W_p(A)</math> ein lokaler Ring mit maximalem Ideal <math>V(W_p(A))</math>. Außerdem ist <math>W_p(A)</math> genau dann noethersch, wenn <math>A</math> perfekt ist.<ref>Bourbaki, IX §1 Ex. 9</ref>
Wenn <math>A\to A,\ a\mapsto a^p</math> surjektiv ist, dann ist <math>V(W_p(A))=pW_p(A)</math> und somit <math>W_p(A)/pW_p(A)\cong A</math>.
Ist <math>A</math> perfekt, d. h. <math>a\mapsto a^p</math> bijektiv, dann lässt sich ein Wittvektor <math>x=(x_0,x_1,x_2,\dots)</math> mit der Teichmüller-Abbildung <math>\tau \colon A\to W_p(A)</math> als <math>p</math>-adisch konvergente Reihe schreiben:

<math>x=\sum_{n=0}^\infty V^n \tau(x_n)=\sum_{n=0}^\infty p^n\cdot\tau(x_n^{1/p^n})</math>

Ist <math>A</math> ein Integritätsbereich, und sind alle Primzahlen <math>\ne p</math> in <math>A</math> invertierbar (z. B. wenn <math>A</math> ein Körper ist), dann kann man die Einheitengruppen <math>AT^*</math> und <math>A((T))^*</math> (formale Potenzreihen bzw. Laurentreihen) sowie <math>(A[T]/T^n A[T])^*</math> durch <math>W_p(A)</math> beschreiben, siehe unten.

Weitere Anwendungen

Artin-Schreier-Witt-Theorie: Ist <math>K</math> ein Körper der Charakteristik <math>p</math>, können abelsche Erweiterungen vom Exponenten <math>p^n</math> von <math>K</math> mit Hilfe der Wittvektoren <math>W_{p,n}</math> klassifiziert werden.
Ist <math>X</math> ein Schema über einem Körper <math>k</math> der Charakteristik <math>p</math>, dann gibt es nicht immer ein flaches Schema <math>\tilde X</math> über <math>W_p(k)</math> mit <math>\tilde X\times_{\text{Spec }W_p(k)}\text{Spec }k\cong X</math>. Die Existenz eines Lifts nach <math>W_{p,2}(k)</math> spielt eine Rolle im Beweis der Degeneration der Hodge-de-Rham-Spektralsequenz von Pierre Deligne und Luc Illusie.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Ist <math>X/k</math> glatt, existieren Lifts lokal. Stattet man die lokalen Lifts noch mit einer PD-Struktur aus, die bewirkt, dass ein Analogon des Poincaré-Lemmas gilt, erhält man die kristalline Kohomologie. Die kristallinen Kohomologiegruppen sind <math>W(k)</math>-Moduln. Tensoriert man mit dem Quotientenkörper, erhält man eine Weil-Kohomologie, welche die l-adische Kohomologie für <math>l\ne p</math> ergänzt.
Ist <math>X</math> ein Schema über <math>\mathbb{F}_p</math>, so ist der topologische Raum <math>X</math> mit der Garbe <math>W_n\mathcal O_X</math> wieder ein Schema <math>W_n(X)</math>. Der De-Rham-Witt-Komplex <math>W_n\Omega_X^\cdot</math> ist ein geeigneter Quotient von <math>\Omega_{W_n\mathcal O_X}^\cdot</math>. Für <math>X</math> glatt ist die kristalline Kohomologie <math>H^*(X/W_n)</math> isomorph zur Hyperkohomologie von <math>W_n\Omega_X^\cdot</math>.<ref>Illusie 1979, Kap. II. Als Vorläufer dieser Konstruktion kann die folgende Arbeit von Spencer Bloch angesehen werden, in der er einen Komplex von Kurven im Sinn der Cartier-Theorie in der K-Theorie betrachtet: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} Eine systematische Betrachtung von Verdickungen des Typs <math>W_n(X)</math> sowie einer adjungierten Konstruktion findet sich in: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Es gibt Ansätze, Wittvektoren auf die Analyse des Verschlüsselungsverfahrens NTRUEncrypt anzuwenden.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Wittvektoren als algebraische Gruppe {{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}

Sei <math>k</math> ein perfekter Körper der Charakteristik <math>p</math>. Die Wittvektoren der Länge <math>n</math> bilden eine kommutative algebraische Gruppe <math>W_n</math> über <math>k</math>, die als Varietät isomorph zum affinen Raum <math>\mathbb{A}_k^n</math> ist. <math>W_n</math> ist eine unipotente Gruppe: Das folgt aus der Filtrierung <math>V^k W_n</math> mit Subquotienten <math>\cong\mathbb{G}_a</math> oder der Artin-Hasse-Einbettung <math>W_n(A)\to (A[T]/(T^{p^n+1}))^*</math>.

In Charakteristik 0 ist jede kommutative unipotente Gruppe isomorph zu <math>\mathbb{G}_a^d</math>. In positiver Charakteristik ist die Theorie wesentlich komplexer: Es gibt nichttriviale Erweiterungen, und außer <math>\mathbb{G}_a</math> gibt es noch die möglichen Kompositionsfaktoren <math>\underline{\Z/p\Z}</math> und <math>\alpha_p</math> (der Kern des Frobeniusmorphismus auf <math>\mathbb{G}_a</math>, explizit <math>\alpha_p(A)=\{a\in A: a^p=0\}</math>).

Jede kommutative unipotente Gruppe über <math>k</math> ist isogen zu einem Produkt von Wittvektorgruppen.<ref>Demazure-Gabriel, V §3 6.11. Serre 1988, VII §2 10</ref> Der Hauptsatz der klassischen Dieudonné-Theorie besagt: Der Funktor

<math>M(G)=\varinjlim_n \text{Hom}(G,W_n)</math>

definiert eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen über <math>k</math> und der Kategorie der endlich erzeugten <math>D_k</math>-Moduln, auf denen <math>V</math> nilpotent wirkt.<ref>Demazure-Gabriel, V §1 4</ref> Mit Hilfe der Cartier-Dualität oder mit Witt-Kovektoren kann man eine analoge Äquivalenz für endliche <math>p</math>-Gruppen sowie für p-divisible Gruppen konstruieren.<ref>Demazure 1972, III §6–8</ref>

Für eine abelsche Varietät <math>X/k</math> gibt es einen kanonischen Isomorphismus von <math>D_k</math>-Moduln <math>M({}_p X)\cong H^1_{\text{DR}}(X)</math>. Dabei ist <math>{}_p X</math> der Kern der Multiplikation mit <math>p</math> auf <math>X</math> und <math>H^1_{\text{DR}}(X)</math> die algebraische De-Rham-Kohomologie von <math>X</math>.<ref>Corollary 5.11 in: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Der Dieudonné-Modul der <math>p</math>-divisiblen Gruppe von <math>X</math> ist isomorph zur kristallinen Kohomologie <math>H^1_\text{cris}(X/W)</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Witt-Kovektoren

Wie Wittvektoren eine Verallgemeinerung der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>W_p(\mathbb{F}_p)=\Z_p=\varprojlim_n \Z/p^n\Z</math> sind, so sind Witt-Kovektoren eine Verallgemeinerung der Prüfergruppe <math>CW(\mathbb{F}_p)=\Q_p/\Z_p=\varinjlim_n \tfrac{1}{p^n}\Z/\Z</math>. Der Funktor <math>M(G)=\text{Hom}(G,CW)</math> erlaubt eine einheitliche Darstellung der Dieudonné-Theorie für endliche kommutative <math>p</math>-Gruppen und <math>p</math>-divisible Gruppen über einem perfekten Körper.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Für einen Ring <math>A</math> sei <math>CW^u(A)</math> der direkte Limes von

<math>W_{p,1}(A) \stackrel{V}{\longrightarrow} W_{p,2}(A) \stackrel{V}{\longrightarrow} W_{p,3}(A) \stackrel{V}{\longrightarrow} \dots</math>

Damit wird <math>CW^u</math> zu einem Ind-Gruppenschema. In älterer Literatur wird auch das Symbol <math>\mathop{W}_\to</math> verwendet. <math>CW^u(A)</math> heißt Gruppe der unipotenten Witt-Kovektoren.<ref>Bourbaki, IX §1 Ex. 23</ref>

Die Konstruktion der topologischen Gruppe <math>CW(A)</math> aller Witt-Kovektoren ist komplizierter: Elemente in <math>CW^u(A)</math> können mit Folgen <math>(x_0,x_{-1},x_{-2},\dots)</math> identifiziert werden, die ab einem Index null sind. Mit denselben universellen Formeln kann man für Folgen, die ab einem festen Index <math>r</math> Werte in einem festen nilpotenten Ideal <math>\mathfrak{n}</math> haben, eine Addition erklären. Statte diese Gruppen <math>CW(A,\mathfrak{n},r)</math> mit der Produkttopologie von <math>A^r\times\mathfrak{n}^\N</math> mit diskreten Faktoren aus und setze <math>CW(A)=\varinjlim_{\mathfrak{n},r} CW(A,\mathfrak{n},r)</math>. Die unipotenten Kovektoren <math>CW^u(A)</math> bilden eine dichte Untergruppe von <math>CW(A)</math>.<ref>Bourbaki, IX §1 Ex. 24</ref>

Sei <math>A</math> ein perfekter Ring der Charakteristik <math>p</math> und <math>f \colon A\to B</math> eine <math>A</math>-Algebra. Die Abbildung

<math>W_p(A)\times W_{p,n}(B)\to W_{p,n}(B),\ \ (a,b)\mapsto W(f)(F^{1-n}a)\cdot b</math>

macht <math>W_{p,n}(B)</math> zu einem <math>W_p(A)</math>-Modul (abweichend von der weiter oben definierten Modulstruktur), und mit dem Frobenius und der Verschiebung wird <math>W_{p,n}(B)</math> zu einem <math>D_A</math>-Modul. Die Verschiebung <math>W_{p,n}(B)\to W_{p,n+1}(B)</math> ist <math>D_A</math>-linear, und man erhält eine <math>D_A</math>-Modulstruktur auf <math>CW^u(B)</math> und <math>CW(B)</math>.<ref>Bourbaki, IX §1 Ex. 25</ref>

Verzweigte Wittvektoren

Sei <math>A</math> ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Uniformisierender <math>\pi</math>, dessen Restklassenkörper ein endlicher Körper mit <math>q</math> Elementen ist. Dann gibt es genau eine funktorielle <math>A</math>-Algebra-Struktur auf <math>W_\pi^A(B)=B^{\N_0}</math> für <math>A</math>-Algebren <math>B</math>, so dass

<math>w_{\pi,n}: W_\pi^A(B)\to B,\ \ (x_0,x_1,\dots)\mapsto\sum_{k=0}^n \pi^k x_k^{q^{n-k}}</math>

für jedes <math>n\in\N_0</math> ein Homomorphismus von <math>A</math>-Algebren ist. Es gibt Frobenius- und Verschiebungsoperatoren <math>F_\pi,V_\pi</math>, die durch

charakterisiert sind. Für eine endliche Erweiterung <math>\lambda/\mathbb{F}_q</math> des Restklassenkörpers von <math>A</math> ist <math>W_\pi^A(\lambda)</math> eine unverzweigte Erweiterung von <math>A</math> vom Grad <math>[\lambda:\mathbb{F}_q]</math>. Verzweigte Wittvektoren übernehmen die Rolle der gewöhnlichen Wittvektoren bei der Übertragung der Cartier-Theorie auf formale <math>A</math>-Moduln.<ref>Hazewinkel 1978, 25.3 und 25.6.4. Weitere Verallgemeinerungen dort und in Borger 2011.</ref>

Große Wittvektoren

Definition

Bezeichne <math>\N_1</math> die Menge der positiven ganzen Zahlen.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome <math>S_i,P_i\in\Z[X_1,\dots,X_i,Y_1,\dots,Y_i]</math> derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement <math>A</math> gilt: <math>W(A)=A^{\N_1}</math> ist ein Ring mit Addition

und Multiplikation

und für jedes <math>n\in\N_1</math> ist die Abbildung

<math>W(A)\to A,\ \ x\mapsto\sum_{d|n}dx_d^{n/d}</math>

ein Ringhomomorphismus. Auch das additiv Inverse <math>-x</math> ist durch universelle Polynome gegeben. <math>W(A)</math> heißt der Ring der großen oder universellen Wittvektoren mit Einträgen aus <math>A</math>.

Ist <math>S\subseteq\N_1</math> eine Teilmenge, so dass für <math>n\in S</math> auch jeder Teiler von <math>n</math> in <math>S</math> liegt, dann ist <math>W_S(A)=A^S</math> mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation von <math>W(A)</math> ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement. Für <math>S=\{1,\dots,n\}</math> erhält man den Ring <math>W_{[n]}(A)</math> der großen Wittvektoren der Länge <math>n</math>, für <math>S=\{1,p,p^2,\dots\}</math> mit einer Primzahl <math>p</math> erhält man bis auf Umindizierung den Ring der <math>p</math>-typischen Wittvektoren, siehe unten.

Das Ringelement

wird als <math>n</math>-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von <math>x\in W(A)</math> bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

kann man <math>S_n</math> und <math>P_n</math> rekursiv berechnen:

<math>\begin{align} S_n(X,Y) &= \frac{1}{n} \left(w_n(X) + w_n(Y)

- \sum_{d|n,\ d < n} dS_d^{n/d}(X,Y) \right) \\ P_n(X,Y) &= \frac{1}{n} \left(w_n(X)\cdot w_n(Y) - \sum_{d|n,\ d < n} dP_d^{n/d}(X,Y) \right) \end{align} </math>

Die Abbildung <math>\tau \colon A\to W(A),\ a\mapsto(a,0,0,\dots)</math> ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem.

<math>W</math> ist als mengenwertiger Funktor darstellbar durch einen Polynomring in abzählbar unendlich vielen Unbestimmten. In der Praxis verwendet man konkret den Ring der symmetrischen Polynome, und Strukturen von <math>W</math> zu übertragen.<ref>Hazewinkel 2009 Kap. 10. Borger-Wieland 2005</ref>

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}} Alternative Definition mit Potenzreihen

Sei <math>\Lambda(A)=1+T\cdot AT\subseteq AT^*</math> die multiplikative Gruppe der formalen Potenzreihen mit konstantem Term 1. Die Abbildung

<math>\begin{align} & W(A)\to\Lambda(A) \\

& x\mapsto\prod_{n\ge 1} (1-x_n (-T)^n) \end{align} </math> ist ein Isomorphismus von Gruppen <math>(W(A),{+})\cong (\Lambda(A),{\cdot})</math>.<ref>Die Vorzeichenwahl ist uneinheitlich, drei Varianten finden sich bei Bourbaki, Hazewinkel und Bergman. Mit der hier getroffenen Wahl (wie bei Bourbaki oder Berthelot 1971) wird der Zusammenhang mit λ-Ringen einfacher.</ref> Für <math>x\in W(A)</math> hat

<math>-T\cdot\frac{\partial}{\partial T} \log \prod_{n\ge 1} (1-x_n (-T)^n)=\sum_{n\geq 1} x^{(n)} (-T)^n</math>

als Koeffizienten die Geisterkomponenten von <math>x</math>.

Unter dem Isomorphismus wird das Produkt zweier Wittvektoren <math>x,y\in W(A)</math> abgebildet auf:

wobei jeweils <math>m=\text{kgV}(d,e)</math>. Schreibe <math>*</math> für die der Multiplikation in <math>W(A)</math> entsprechende Verknüpfung auf <math>\Lambda(A)</math>, so dass <math>(W(A),{+},{\cdot},0,1)\cong(\Lambda(A),{\cdot},{*},1,1+T)</math> ein Isomorphismus von Ringen ist. Als Spezialfall der Multiplikationsformel ergibt sich<ref>Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, (9.15) und (9.27)</ref>

Frobenius und Verschiebung

Zu jeder natürlichen Zahl <math>n\in\N_1</math> gibt es Operatoren <math>F_n</math> und <math>V_n</math>. Ihre Wirkung auf den Geisterkomponenten ist:

<math> \begin{align}

& w_m(V_n(x)) = \begin{cases} n\cdot w_{m/n}(x) & \text{falls }n|m \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \\ & w_m(F_n(x)) = w_{mn}(x) \end{align} </math> In <math>\Lambda(A)</math> ist

<math> \begin{align}

& V_n(f(T))=f((-1)^{n+1} T^n) \\ & F_n(f)((-1)^{n+1} T^n)=\prod_{k=1}^n f(\zeta^kT)=N_{AT/AT^n}(f(T)) \end{align} </math> Dabei ist <math>\zeta</math> eine formale primitive <math>n</math>-te Einheitswurzel und <math>N</math> die Norm.<ref>Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, Kap. 13</ref> Insbesondere gilt

Für <math>n\in\Z</math> sei <math>[n]</math> die Multiplikation mit <math>n</math> auf <math>W(A)</math>, also

<math> \begin{align}

& w_m([n](x)) = n\cdot w_m(x) \\{} & [n](f(T)) = f(T)^n \end{align} </math>

Ist <math>A</math> eine <math>R</math>-Algebra (insbesondere <math>R=\Z</math>), dann gibt es für jedes <math>r\in R</math> einen Operator <math>\langle r\rangle \colon W(A)\to W(A)</math>:

<math> \begin{align}

& w_m(\langle r\rangle(x)) = r^m\cdot w_m(x) \\ & \langle r\rangle(f(T)) = f(rT) \end{align} </math>

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}} Es gilt für <math>m,n\in\N_1</math>, <math>r,q\in R</math>:

<math>\begin{align}

V_m V_n &= V_{mn} \\ F_m F_n &= F_{mn} \\ V_m F_n &= F_n V_m \text{ falls ggT}(m,n)=1 \\ F_n V_n &= [n] \\ \langle r\rangle\langle s\rangle &= \langle rs\rangle \\ \langle r\rangle V_n &= V_n \langle r^n\rangle \\ F_n \langle r\rangle &= \langle r^n\rangle F_n \\ \langle r\rangle + \langle q\rangle &= \sum_{n=1}^\infty V_n \langle s_n(r,q)\rangle F_n \end{align} </math> In der letzten Formel steht <math>s_n(r,q)</math> für die <math>n</math>-te Komponente von <math>\tau(r)+\tau(q)\in W(R)</math>.

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}} {{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}} Beziehung zu den p-typischen Wittvektoren, Artin-Hasse-Exponentialfunktion

Sei <math>p</math> eine Primzahl. Die Abbildung <math>W(A)\to W_p(A)</math>, <math>(x_n)_{n\in\N_1}\mapsto(x_{p^n})_{n\in\N_0}</math>, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. Die <math>p</math>-typischen Wittpolynome <math>w_{p,n}</math> sind unter dieser Umindizierung gleich den großen Wittpolynomen <math>w_{p^n}</math>, dasselbe gilt damit auch für die Geisterkomponenten.

Die Teilmenge <math>\{x\in W(A): x_k\ne0\Rightarrow k=p^n\}</math> ist kein Unterring von <math>W(A)</math>. In bestimmten Fällen kann man jedoch <math>W_p(A)</math> in <math>W(A)</math> einbetten.

Die Artin-Hasse-Exponentialfunktion

<math>E_0(X)=\exp\left(\sum_{m=0}^\infty \frac{X^{p^m}}{p^m} \right) = \prod_{p\nmid m} (1-X^m)^{-\mu(m)/m} </math>

kann als Element von <math>\Z_{(p)}X</math> aufgefasst werden (d. h. die Koeffizienten haben nicht durch <math>p</math> teilbare Nenner, siehe Lokalisierung; <math>\mu</math> ist die Möbius-Funktion).

Ist <math>A</math> eine <math>\Z_{(p)}</math>-Algebra, d. h. sind alle Primzahlen <math>\ne p</math> in <math>A</math> invertierbar, dann ist für einen Wittvektor <math>x\in W_p(A)</math> das Element

<math>E(x)=\prod_{n=0}^\infty E_0(x_n T^{p^n})=\exp\left(\sum_n w_{p,n}(x) \frac{T^{p^n}}{p^n}\right)\in\Lambda(A)</math>

wohldefiniert. <math>e=E(1)=E_0(T)</math> ist ein Idempotent in <math>\Lambda(A)</math>, und <math>E: W_p(A)\to\Lambda(A)\cong W(A)</math> induziert einen Ringisomorphismus <math>W_p(A)\to e*\Lambda(A)</math>. Bezeichne die <math>e*\Lambda(A)</math> entsprechende Untergruppe von <math>W(A)</math> mit <math>W_{(p)}(A)</math>. Dann gilt:

<math>W_{(p)}(A)=\{x\in W(A): p\nmid n\implies F_n x=0\}</math>

Der Ring <math>W(A)</math> zerfällt als direktes Produkt der <math>\tfrac{1}{m}V_m W_{(p)}(A)</math> für <math>p\nmid m</math>.<ref>Bourbaki, IX §1 Ex. 40. Demazure-Gabriel, V §5, 3.4</ref> Für beliebige Ringe <math>A</math> ist <math>W(A)\cong W^p(W_p(A))</math>, wenn <math>W^p(R)</math> den Quotienten von <math>W(A)</math> bezeichnet, den man durch Projektion auf die Komponenten mit nicht durch <math>p</math> teilbarem Index erhält.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Frobenius <math>F_p</math> und Verschiebung <math>V_p</math> schränken sich zu Operatoren auf <math>W_{(p)}</math> ein und stimmen dort mit den auf <math>W_p</math> erklärten Operatoren <math>F</math> bzw. <math>V</math> überein.

Für einen Körper <math>k</math> der Charakteristik <math>p</math> ist <math>\Lambda(k)</math> die Einseinheitengruppe von <math>k((T))</math>, und so erhält man den Isomorphismus

<math>k((T))^*\cong k^*\times\Z\times W_p(k)^{I(p)}</math> mit <math>I(p)=\{n\in\N: p\nmid n\}</math>

Für jede <math>k</math>-Algebra <math>A</math> ist

<math>W_{[n]}(A)\cong\Lambda_{[n]}(A)=\{1+a_1 T+\dots+a_n T^n\in (A[T]/T^{n+1}A[T])^*\}</math>

Das Abschneiden bei <math>n</math> reduziert den Faktor <math>\tfrac{1}{m}V_m W_{(p)}(A)</math> auf <math>\tfrac{1}{m}V_m W_{p,r_m}(A)</math>, wobei <math>r_m</math> die kleinste ganze Zahl mit <math>m\cdot p^{r_m}\geq n+1</math> ist. Man erhält also einen Isomorphismus von algebraischen Gruppen (über <math>k</math>)<ref>Serre 1988, V §3 Proposition 9</ref>

<math>\Lambda_{[n]}\cong\prod_{m\leq n,\ p\nmid m} W_{p,r_m}</math>

Die Artin-Hasse-Exponentialabbildung hängt auch mit der Komonadenstruktur <math>\mu \colon W_p\to W_p\circ W_p</math> zusammen: Für einen perfekten Körper <math>k</math> der Charakteristik <math>p</math> ist die Verkettung von

<math>W_p(k)\to \Lambda(W_p(k)),\ \ x\mapsto\prod_{i=0}^\infty E_0(\tau(x_i^{p^{-i}})\cdot T)^{p^i}</math>

mit der Projektion <math>\Lambda(W_p(k))\cong W(W_p(k))\to W_p(W_p(k))</math> gleich <math>\mu</math>.<ref>Hazewinkel 1978 17.5</ref>

λ-Ringe

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Es gibt einen kanonischen Ringhomomorphismus <math>\mu_A \colon W(A)\to W(W(A))</math>, der <math>w_n\circ\mu=F_n</math> erfüllt. Wenn <math>A</math> als abelsche Gruppe torsionsfrei ist, ist <math>\mu</math> durch diese Bedingung eindeutig bestimmt, und für andere Ringe ist <math>\mu</math> dadurch charakterisiert, dass für eine Surjektion <math>f \colon A'\to A</math> mit einem torsionsfreien Ring <math>A'</math> die Gleichung <math>\mu_A\circ W(f)=W(W(f))\circ\mu_{A'}</math> gilt. Zusammen mit <math>w_1 \colon W(A)\to A</math> wird <math>W</math> zu einer Komonade.<ref>Bourbaki, IX §1 Ex. 41. Hazewinkel 2009 16.59</ref> Überträgt man die Koalgebren zu dieser Komonade auf <math>\Lambda(A)</math>, erhält man die so genannten λ-Ringe.

Die erste Geisterkomponente <math>w_1 \colon W(A)\to A</math> entspricht in <math>\Lambda(A)</math> dem ersten Koeffizienten:

<math>w_1 \colon \Lambda(A)\to A,\ 1+a_1 T+a_2 T^2+\dots\mapsto a_1</math>

Ein Prä-λ-Ring ist ein Ring <math>A</math> zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus <math>\lambda \colon A\to\Lambda(A)</math> mit <math>w_1\circ\lambda=\text{id}_A</math>. Diese Bedingung ist die Kompatibilität mit der Koeins der Komonade. Bezeichnet man die Koeffizienten von <math>\lambda(a)</math> mit <math>\lambda^n(a)</math>, also

<math>\lambda(a)=\sum_{n=0}^\infty \lambda^n(a) T^n</math>

dann ist eine Prä-λ-Struktur äquivalent zur Angabe von Abbildungen <math>\lambda^n \colon A\to A</math> für <math>n\in\N_0</math>, die die folgenden Gleichungen erfüllen:

<math>\begin{align}

& \lambda^0(a) = 1 \\ & \lambda^1(a) = a \\ & \lambda^n(a+b) = \sum_{k=0}^n \lambda^k(a) \lambda^{n-k}(b) \end{align} </math> Ein λ-Homomorphismus <math>(A,\lambda_A)\to(B,\lambda_B)</math> ist ein Ringhomomorphismus <math>f \colon A\to B</math> mit <math>\Lambda(f)\circ\lambda_A=\lambda_B\circ f</math>, d. h. das folgende Diagramm kommutiert:

<math>\begin{matrix}

A & \rightarrow & B \\ \downarrow && \downarrow \\ \Lambda(A) & \rightarrow & \Lambda(B) \end{matrix} </math>

Der Ring <math>\Lambda(A)</math> besitzt wie oben ausgeführt für jeden Ring <math>A</math> eine kanonische Prä-λ-Struktur. Ein λ-Ring ist ein Prä-λ-Ring, für den <math>\lambda \colon A\to\Lambda(A)</math> ein λ-Homomorphismus ist. Das obige Diagramm ist für <math>B=\Lambda(A)</math> gerade die Kompatibilität mit der Komultiplikation der Komonade. Übersetzt in die <math>\lambda^n</math> sind das zusätzliche Bedingungen der folgenden Form:

<math>\begin{align}

& \lambda^n(1) = 0\text{ falls }n>1 \\ & \lambda^n(ab) = P_n(\lambda^1(a),\dots,\lambda^n(a),\lambda^1(b),\dots,\lambda^n(b)) \\ & \lambda^m(\lambda^n(a)) = Q_{n,m}(\lambda^1(a),\dots,\lambda^{mn}(a)) \end{align} </math> Die (universellen) Polynome <math>P_n</math> beschreiben die <math>*</math>-Multiplikation auf <math>\Lambda(A)</math> und besitzen wie die Polynome <math>Q_{n,m}</math> eine Beschreibung mit Hilfe von elementarsymmetrischen Polynomen.

Die Koassoziativität der Komonade <math>\Lambda</math> besagt, dass <math>\Lambda(A)</math> selbst ein λ-Ring ist. Der Funktor <math>\Lambda</math> ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der λ-Ringe in die Kategorie der Ringe.

Ist <math>(A,\lambda)</math> ein λ-Ring, dann ist der Ringhomomorphismus

<math>A \stackrel{\lambda}{\longrightarrow} \Lambda(A)\cong W(A) \stackrel{w_n}{\longrightarrow} A</math>

die <math>n</math>-te Adams-Operation <math>\psi_n</math> auf <math>A</math>. Es gilt <math>\psi_n\circ\psi_m=\psi_{mn}</math>. Für eine Primzahl <math>p</math> ist <math>w_p=X_1^p+pX_p</math>, also <math>\psi_p(a)\equiv a^p\mod pA</math>, d. h. <math>\psi_p</math> ist ein Frobeniuslift. Ist <math>A</math> ein beliebiger Ring, dann ist die Adams-Operation <math>\psi_n</math> auf dem λ-Ring <math>\Lambda(A)</math> der Frobenius <math>F_n</math>.<ref>Bourbaki, IX §1 Ex. 48. Hazewinkel 2009, 16.22</ref>

Cartier-Theorie

Die Cartier-Theorie (nach Pierre Cartier) ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen einer geeigneten Kategorie kommutativer formaler Gruppen über einem Ring <math>k</math> und einer Unterkategorie der Moduln über dem Cartier-Ring <math>\text{Cart}(k)</math>.<ref>Übersichtsartikel zum gesamten Abschnitt: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} Siehe auch: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Sei <math>\text{Nil}(k)</math> die Kategorie der kommutativen <math>k</math>-Algebren ohne Einselement, die nur aus nilpotenten Elementen bestehen. Für die Zwecke der Theorie werden kommutative formale Gruppen mit Funktoren <math>\text{Nil}(k)\to\text{Ab}</math> identifiziert. Ist <math>F\in kX,Y</math> ein formales Gruppengesetz, ordnet der entsprechende Funktor einer Algebra <math>A</math> die Menge <math>A</math> mit der Gruppenstruktur <math>(a,b)\mapsto F(a,b)</math> zu. Die formale Gruppe <math>A\mapsto(A,{+})</math> ist die formale affine Gerade <math>\widehat{\mathbb{A}}^1</math>. Die Funktoren können auf natürliche Weise auf die Kategorie der Algebren fortgesetzt werden, die filtrierende projektive Limites von Algebren in <math>\text{Nil}(k)</math> sind.

Die formale Gruppe der Wittvektoren ist der Funktor <math>\widehat{W}</math>, der einer Algebra <math>A</math> die Untergruppe der Wittvektoren in <math>W(A)</math> zuordnet, die nur endlich viele von 0 verschiedene Komponenten haben. Die entsprechende Untergruppe <math>\widehat{\Lambda}(A)\subseteq\Lambda(A)</math> besteht aus den Elementen, die bezüglich <math>T</math> ein Polynom sind. Der Ring <math>\text{End}(\widehat{W})^\text{op}</math> wird mit <math>\text{Cart}(k)</math> bezeichnet und Cartier-Ring genannt. Die Operatoren <math>F_n,V_n,\langle r\rangle</math> schränken sich zu Endomorphismen von <math>\widehat{W}</math> ein und definieren damit Elemente <math>V_n,F_n,\langle r\rangle\in\text{Cart}(k)</math>. Dabei werden die Bezeichnungen von <math>F_n</math> und <math>V_n</math> vertauscht, so dass die obigen Relationen wegen der vertauschten Multiplikationsreihenfolge wieder gelten. Die Abbildung <math>W(k)\to\text{Cart}(k)</math>, <math>\textstyle a\mapsto\sum_{n\ge 1} V_n\langle a_n\rangle F_n</math> ist ein injektiver Ringhomomorphismus.

Sei <math>G</math> eine formale Gruppe. Die folgenden Gruppen sind natürlich isomorph:

<math>G(X\ kX)=\varprojlim_n G(X\ k[X]/X^n\ k[X])</math>
die Gruppe der Morphismen <math>\widehat{\mathbb{A}}^1\to G</math> (nicht Gruppenhomomorphismen, d. h. natürliche Transformationen nur als mengenwertige Funktoren). Die Gruppenstruktur wird von der Gruppenstruktur auf <math>G</math> induziert.
die Gruppe der Homomorphismen <math>\widehat{W}\to G</math>

Ihre Elemente werden Kurven in <math>G</math> genannt, die Gruppe mit <math>C(G)</math> bezeichnet. Aus der letzten Beschreibung ergibt sich eine kanonische <math>\text{Cart}(k)</math>-Linksmodulstruktur auf <math>C(G)</math>.

Die Potenzreihengruppe <math>\Lambda(k)</math> kann mit <math>C(\widehat{\mathbb{G}}_m)</math> identifiziert werden. Die Witt-Polynome entsprechen dem Gruppenhomomorphismus <math>C(\widehat{\mathbb{G}}_m)\to C(\widehat{\mathbb{G}}_a)</math>, der von der logarithmischen Ableitung auf <math>X\ kX</math> induziert wird.

In <math>C(G)=G(X\ kX)</math> wird die Operation von <math>V_n\in\text{Cart}(k)</math> von <math>X\mapsto X^n</math> induziert, die Operation von <math>\langle r\rangle</math> von <math>X\mapsto rX</math>. Für <math>F_n</math> betrachte wieder eine formale <math>n</math>-te Einheitswurzel <math>\zeta</math> und bilde in <math>G</math> die Summe der Kurven, die man durch <math>X\mapsto \zeta^i X^{1/n}</math> für <math>i=0,1,\dots,n-1</math> erhält. Für <math>G=\widehat{\mathbb{G}}_m</math> ist eine Kurve durch das Bild <math>f\in X\ kX</math> der Koordinate bestimmt. Identifiziert man <math>1+f</math> mit dem entsprechenden Element in <math>\Lambda(k)</math>, stimmen die Wirkungen von <math>F_n,V_n,\langle r\rangle</math> mit den oben definierten überein (ohne Vertauschung von <math>F_n</math> und <math>V_n</math>).

Sowohl <math>\text{Cart}(k)</math> als auch <math>C(G)</math> tragen natürliche Topologien. Der Hauptsatz der Cartier-Theorie besagt, dass <math>C</math> eine Äquivalenz zwischen einer Kategorie formaler Gruppen über <math>k</math> und einer Kategorie topologischer <math>\text{Cart}(k)</math>-Moduln induziert. Der inverse Funktor ordnet einem <math>\text{Cart}(k)</math>-Modul <math>M</math> ein geeignet konstruiertes Tensorprodukt <math>\widehat{W}\otimes_{\text{Cart}(k)} M</math> zu.

Sei <math>p</math> eine Primzahl und <math>k</math> eine <math>\Z_{(p)}</math>-Algebra, d. h. jede Primzahl <math>\ne p</math> ist in <math>k</math> invertierbar. Dann ist <math>\textstyle \epsilon_p=\sum_{p\nmid n} \frac{\mu(n)}{n} V_n F_n</math> ein Idempotent in <math>\text{Cart}(k)</math>, setze <math>\text{Cart}_p(k)=\epsilon_p \text{Cart}(k) \epsilon_p</math>. Für einen <math>\text{Cart}(k)</math>-Modul <math>M</math> ist <math>\epsilon_p M\subseteq M</math> die Untergruppe der Elemente <math>m\in M</math> mit <math>F_n m=0</math> für alle <math>p\nmid n</math>. Solche Elemente heißen <math>p</math>-typisch.

Für eine formale Gruppe <math>G</math> sei <math>C_p(G)=\epsilon_p C(G)\cong\text{Hom}(\widehat{W}_p,G)</math> die Gruppe der <math>p</math>-typischen Kurven (dabei <math>\widehat{W}_p</math> die formale Gruppe zu den <math>p</math>-typischen Wittvektoren <math>W_p</math>, analog zu <math>\widehat{W}</math>). Dann induziert <math>C_p</math> eine Äquivalenz zwischen der Kategorie formaler Gruppen über <math>k</math> wie oben und einer Kategorie topologischer <math>\text{Cart}_p(k)</math>-Moduln. Der inverse Funktor ist wie vorher ein Tensorprodukt <math>\widehat{W}_p\otimes_{\text{Cart}_p(k)}M</math>.

Für einen perfekten Körper <math>k</math> der Charakteristik <math>p</math> kann der Dieudonné-Ring <math>D_k</math> mit einem dichten Unterring in <math>\text{Cart}_p(k)</math> identifiziert werden. Unter geeigneten Voraussetzungen ist der Dieudonné-Modul dual zum Modul der <math>p</math>-typischen Kurven, <math>\text{Hom}_{W_p(k)}(M(G),W_p(k))\cong C_p(G)</math>.

Verallgemeinerungen

Colette Schoeller hat Teile der <math>p</math>-typischen Theorie, nämlich die Konstruktion des Cohen-Rings und der Klassifikation der unipotenten Gruppen, auf nicht perfekte Körper ausgedehnt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}; Bourbaki, IX §2 Ex. 10</ref>
Andreas Dress und Christian Siebeneicher haben die Konstruktion eines Rings <math>W_G(A)</math> aus einer proendlichen Gruppe <math>G</math> und einem Ring <math>A</math> angegeben, so dass <math>W_G(\Z)</math> isomorph zum komplettierten Burnside-Ring von <math>G</math> ist. Für <math>G=\Z_p</math> ergibt sich <math>W_p(A)</math>, für <math>G=\widehat{\Z}</math> ergibt sich <math>W(A)</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Literatur

Lehrbücher und Übersichtsartikel

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Weiterführende Themen

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Weblinks

Witt vector. In: I.V. Dolgachev (originator): Encyclopedia of Mathematics.

Einzelnachweise