Woodbury-Matrix-Identität

Die Woodbury-Matrix-Identität, benannt nach Max A. Woodbury,<ref>Max A. Woodbury: Inverting modified matrices. In: Memorandum Rept. 42, Statistical Research Group, Princeton University, Princeton NJ 1950, 4pp MR38136</ref><ref>Max A. Woodbury: The Stability of Out-Input Matrices. Chicago IL 1949, MR32564</ref> besagt, dass die Inverse einer Rang-<math>k</math>-Korrektur einer Matrix <math>A</math> als eine Rang-<math>k</math>-Korrektur der Inversen <math>A^{-1}</math> ausgedrückt werden kann. Gängig sind auch die Bezeichnungen Sherman-Morrison-Woodbury-Formel oder nur Woodbury-Formel. Doch die Gleichung wurde schon vor Woodburys Bericht erwähnt.<ref name="hager"></ref>

Die Woodbury-Gleichung lautet<ref>Nicholas Higham: Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. 2nd Auflage. SIAM, 2002, ISBN 0-89871-521-0, S. 258 (ams.org). </ref>

<math> \left(A+UCV \right)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1}+VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1}</math>,

wobei <math>A</math>, <math>U</math>, <math>C</math> und <math>V</math> Matrizen des korrekten Formats bezeichnen. Genauer ist <math>A</math> eine <math>n \times n</math>-Matrix, <math>U</math> eine <math>n \times k</math>-Matrix, <math>C</math> eine <math>k \times k</math>-Matrix und <math>V</math> eine <math>k \times n</math>-Matrix.

Im Spezialfall <math>k=1</math> und <math>C=1</math>, wird die Gleichung auch Sherman-Morrison-Formel genannt. Wenn <math>C</math> die Einheitsmatrix <math>I</math> ist, wird die Matrix <math>I+VA^{-1}U</math> oft Kapazitätsmatrix genannt.<ref name="hager" />

Anwendung

Die Identität ist nützlich in vielen numerischen Berechnungen, in denen <math>A^{-1}</math> bereits berechnet ist und <math>(A+UCV)^{-1}</math> benötigt wird. Mit der Inversen von <math>A</math> ist es nur nötig, die Inverse von <math>C^{-1} + VA^{-1}U</math> zu berechnen. Wenn <math>C</math> eine wesentlich kleinere Dimension hat als <math>A</math>, ist das viel effizienter als <math>A + UCV</math> direkt zu invertieren.

Siehe auch

Reguläre Matrix

Weblinks

Some matrix identities
Eric W. Weisstein: Woodbury formula. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise