Yule-Walker-Gleichungen
Die Yule-Walker-Gleichungen (nach Gilbert Walker und George Udny Yule) werden in der Zeitreihenanalyse, die zur Statistik gehört, zum Schätzen der Parameter von AR(MA)-Prozessen verwendet. Sie stellen einen Zusammenhang her zwischen Autoregressionskoeffizienten und der Autokovarianzfolge des Prozesses.
Die Gleichungen
Sei <math>(X_t)_{t\in \mathbb{Z}}</math> ein stationärer autoregressiver Prozess der Ordnung <math>p</math>, also <math> X_t=\sum_{k=1}^p \alpha_k X_{t-k}+\varepsilon_t</math>, wobei <math> (\varepsilon_t)_{t\in \mathbb{Z}}</math> weißes Rauschen mit Varianz <math>\sigma_\varepsilon^2</math> und <math>(r_t)_{t\in \mathbb{Z}}</math> die Autokovarianzfolge ist. Dann gelten die Yule-Walker Gleichungen:
- <math> \sum_{k=1}^p \alpha_k r_{t-k}=r_t</math> für <math> t>0 </math>
- <math> \sum_{k=1}^p \alpha_k r_{t-k}=r_0-\sigma_\varepsilon^2</math> für <math> t=0 </math>
Anwendungen
Mit den obigen Gleichungen können dann folgende Schätzer für die Parameter des Prozesses hergeleitet werden: Sei <math>\hat R_p=(\hat r_{i,j})_{i,j=1, \dots,p}</math> die (geschätzte) Kovarianzmatrix des Prozesses, ferner <math>\hat r_i=(\hat R_p)_{1,i}</math> sowie <math>\hat r_{p}=(\hat r_1, \dots,\hat r_p)^T</math>. Dann ist
- <math> \hat \alpha=(\hat\alpha_1,\hat\alpha_2, \dots, \hat\alpha_p)^T=\hat R_{p}^{-1} \hat r_{p}</math>
ein konsistenter Schätzer für <math>\alpha</math>, der aufgrund der fast sicheren positiven Definitheit der Korrelationsmatrix <math>R_p=(r_{i,j})_{i,j=1, \dots, p}</math> fast sicher existiert.
Literatur
- Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series. Theory and Methods, Springer. 2. verb. Aufl. Springer, New York 2006, ISBN 978-0-387-97429-3.
- Gebhard Kirchgässner, Jürgen Wolters: Introduction to Modern Time Series Analysis. 1. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-73290-7.
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