Zellkomplex

Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.<ref>J. H. C. Whitehead: Combinatorial homotopy, Bull. Amer. Math. Soc., Band 55, 1949, 213–245 (Teil 1), S. 453–496 (Teil 2)</ref>

Definition

Eine <math>k</math>-Zelle ist ein topologischer Raum, der zu <math>B^k:=[0,1]^k</math> homöomorph ist. Eine offene <math>k</math>-Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von <math>B^k</math> homöomorph ist. <math>k</math> nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum <math>X</math>, der in offene Zellen <math>(c_i)_{i \in I}</math> zerfällt, wobei gilt:

zu jeder <math>k</math>-Zelle <math>c_i \subseteq X</math> existiert eine stetige Abbildung <math>f_i: B^k \rightarrow X</math> so dass das Innere von <math>B^k</math> homöomorph auf <math>c_i</math> und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension <math><k</math> abgebildet wird. (<math>f_i</math> heißt die charakteristische Abbildung der Zelle <math>c_i</math>.)
<math>M \subseteq X</math> ist genau dann abgeschlossen, wenn <math>M \cap f_i(B^k)</math> für alle <math>i \in I</math> abgeschlossen ist.

Das <math>k</math>-Gerüst eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimensionen <math>\le k</math>.

Ein endlicher CW-Komplex ist ein CW-Komplex aus endlich vielen Zellen.

Eigenschaften

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.

Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.

Beispiele

Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
Jede offene sternförmige Teilmenge des <math>\mathbb{R}^k</math> ist eine k-Zelle.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
<math>\mathbb{R}</math> ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen <math>c_i = (i, i+1)</math> und die charakteristischen Abbildungen <math>f_i: [0, 1] \to \mathbb{R}, x \mapsto i+x</math>.

Zelluläre Abbildungen

Das <math>n</math>-Gerüst <math>K_n</math> eines CW-Komplexes <math>K</math> ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension <math>\le n</math>.

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung <math>f\colon K\to L</math>, die jede <math>n</math>-Zelle von <math>K</math> in das <math>n</math>-Gerüst von <math>L</math> abbildet. (Dabei müssen <math>n</math>-Zellen nicht notwendig auf <math>n</math>-Zellen abgebildet werden.)

Siehe auch

Abstrakter Zellkomplex

Literatur

Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2010, ISBN 978-0-521-79540-1, S. 5ff., S. 102ff., S. 106ff
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Einzelnachweise