Quelltext der Seite Normtopologie

Eine '''Normtopologie''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Topologischer Raum|Topologie]] auf einem [[Normierter Raum|normierten Vektorraum]], die durch die [[Norm (Mathematik)|Norm]] des [[Vektorraum]]s induziert wurde.

== Definition ==
[[File:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|miniatur|Beziehungen zwischen Norm, Metrik und Topologie]]

Ist <math>(V, \| \cdot \|)</math> ein [[normierter Raum|normierter Vektorraum]], so induziert die [[Norm (Mathematik)|Norm]] des Raums durch Differenzenbildung zweier Vektoren <math>x, y \in V</math> 
eine [[Metrischer Raum|Metrik]]

:<math>d(x,y) := \| x-y \|</math>.

auf <math>V</math>. Mit dieser Metrik wird der Vektorraum zu einem [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] <math>(V, d)</math>. Eine Metrik kann nun verwendet werden, um eine [[Umgebung (Mathematik)|ε-Umgebung]] um einen Vektor <math>x \in V</math> durch

:<math>U_\varepsilon(x) := \{\, y \in V, \, d\,(x,y) < \varepsilon \,\}</math>

zu definieren. Damit heißt dann eine Teilmenge <math>M \subset V</math> [[Offene Menge|offen]], falls

:<math>\forall\ {x \in M} \; { \exists\ \varepsilon} > 0 : U_\varepsilon(x) \subset M</math>

gilt. Über diese offenen Mengen induziert die Metrik nun auf <math>V</math> eine Topologie

:<math>\mathcal{T} := \{ M \subset V, \, M \, \text{offen} \}</math>.

Mit dieser Topologie wird der Vektorraum zu einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>(V, \mathcal{T})</math> und diese letztendlich von der Norm induzierte Topologie heißt Normtopologie.

== Topologie-Axiome ==
Die Normtopologie ist tatsächlich eine Topologie, wie sich durch eine Überprüfung der drei [[Topologischer Raum#Definition|Topologie-Axiome]], die in der folgenden Form für alle metrischen Räume gültig ist, nachweisen lässt.

# Die [[leere Menge]] und die [[Grundmenge]] sind offen:<br>Die leere Menge ist offen, da es kein <math>x</math> gibt, für das eine geeignete ε-Umgebung gefunden werden müsste. Die Grundmenge <math>V</math> ist offen, da sie eine ε-Umgebung aller ihrer Elemente ist.
# Der [[Schnittmenge|Durchschnitt]] endlich vieler offener Mengen ist offen:<br>Seien die Mengen <math>M_1, \ldots , M_n</math> mit <math>n \in \N</math> offen. Dann existieren Schranken <math>\varepsilon_1, \ldots ,\varepsilon_n</math> und ein <math>x</math> aus dem Schnitt dieser Mengen, sodass <math>U_{\varepsilon_i}(x) \subset M_i</math> für <math>i = 1, \ldots , n</math> gilt. Wählt man nun <math>\varepsilon = \min \{ \varepsilon_1, \ldots , \varepsilon_n \}</math>, dann ist <math>U_\varepsilon(x) \subset M_1 \cap \ldots \cap M_n</math> und somit ist der Durchschnitt dieser Mengen offen.
# Die [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] beliebig vieler offener Mengen ist offen:<br>Sei <math>I</math> nun eine beliebige [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] und seien die Mengen <math>M_i</math> für <math>i \in I</math> offen. Liegt <math>x</math> in der Vereinigung dieser Mengen, dann gibt es einen Index <math>i \in I</math> mit <math>x \in M_i</math> und eine Schranke <math>\varepsilon</math>, sodass <math>U_\varepsilon(x) \subset M_i</math> gilt. Daraus folgt dann <math>U_{\varepsilon}(x) \subset \bigcup_{i \in I} M_i</math> und somit ist die Vereinigung dieser Mengen offen.

== Eigenschaften ==
* Die Normtopologie ist eine spezielle [[Dualraum#Starker Dualraum eines lokalkonvexen Raums|starke Topologie]]. Sie ist von der [[schwache Topologie|schwachen Topologie]] und der [[schwach-*-Topologie]] zu unterscheiden.
* Ein mit einer Normtopologie versehener topologischer Raum ist immer [[Hausdorff-Raum|hausdorffsch]], da zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> mit <math>x \neq y</math> durch Umgebungen <math>U_\varepsilon(x)</math> und <math>U_\varepsilon(y)</math> mit <math>\textstyle \varepsilon = \tfrac{1}{2} d(x,y)</math> voneinander getrennt werden.
* Nach dem [[Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff]] wird die Topologie eines hausdorffschen topologischen Vektorraums genau dann durch eine Norm erzeugt, wenn er eine [[Beschränkte Menge#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkte]] und [[Konvexe Menge|konvexe]] Nullumgebung besitzt.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Verlag=Springer|Auflage=6., korrigierte |Ort=Berlin u. a. |Jahr=2007|ISBN=978-3-540-72533-6}}

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]