Quelltext der Seite Quotientennorm

Eine '''Quotientennorm''' oder '''Quotientenhalbnorm''' ist in der [[Funktionalanalysis]] eine auf natürliche Weise erzeugte [[Norm (Mathematik)|Norm]] bzw. [[Halbnorm]] auf einem [[Faktorraum]].

== Definition ==
Es seien <math>X</math> ein [[normierter Raum]] und <math>U\subset X</math> ein [[Untervektorraum]]. Auf dem Faktorraum <math>X/U</math> definiere man 
:<math>\|x+U\| := \inf\{\|x-y\|;\,y\in U\} = \mathrm{dist}(x,U)</math>.
Dann ist durch diese Definition eine Halbnorm auf dem Faktorraum gegeben; sie ist genau dann eine Norm, wenn der Unterraum [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist, man nennt sie die Quotientennorm bzw. Quotientenhalbnorm.

== Quotient nach einem Kern == 
Ist <math>U\subset X</math> ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes <math>X</math>, so ist die [[Quotientenabbildung]] <math>T:X\rightarrow X/U</math> linear, stetig, bildet die offene [[Einheitskugel]] von <math>X</math> auf die offene Einheitskugel von <math>X/U</math> ab und es ist <math>U=\mathrm{ker}(T)</math>. Die [[Operatornorm]] der Quotientabbildung ist <math>1</math>, falls <math>U</math> ein echter Unterraum ist, anderenfalls gleich <math>0</math>. 

Seien umgekehrt <math>X,Y</math> [[normierter Raum|normierte Räume]] und <math>T : X \rightarrow Y</math> eine [[lineare Abbildung]], die die offene Einheitskugel von <math>X</math> auf die offene Einheitskugel von <math>Y</math> abbildet. Dann ist <math>T</math> [[Beschränkter Operator|stetig]], [[Surjektive Abbildung|surjektiv]] und die Isomorphie <math>X/\mathrm{ker}(T) \cong Y</math> ist eine [[Isometrie]].

== Eigenschaften  ==
Viele Eigenschaften vererben sich auf die Quotientennorm:
* Ist <math>X</math> ein [[Banachraum]] und <math>U\subset X</math> ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch <math>X/U</math> ein Banachraum, d.&nbsp;h. die [[vollständiger Raum|Vollständigkeit]] vererbt sich auf die Quotientennorm.
* Ist <math>X</math> ein [[Hilbertraum]] und <math>U\subset X</math> ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch <math>X/U</math> ein Hilbertraum, d.&nbsp;h. auch die Quotientennorm wird durch ein [[Skalarprodukt]] erzeugt.
* Ist <math>X</math> ein [[gleichmäßig konvexer Raum]] und <math>U\subset X</math> ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch <math>X/U</math> gleichmäßig konvex.
* Ist <math>X</math> eine [[Banachalgebra]] und <math>U\subset X</math> ein abgeschlossenes [[zweiseitiges Ideal]], so ist auch <math>X/U</math> eine Banachalgebra, d.&nbsp;h. die [[Submultiplikativität]] der Norm überträgt sich auf die Quotientennorm.
* Ist <math>X</math> eine [[C*-Algebra|C<sup>*</sup>-Algebra]] und <math>U\subset X</math> ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch <math>X/U</math> eine C<sup>*</sup>-Algebra, d.&nbsp;h. die C<sup>*</sup>-Eigenschaft der Norm gilt auch für die Quotientennorm.

== Quotientenhalbnormen ==
Die Topologie eines [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Raumes]] <math>X</math> wird durch eine Menge <math>\mathcal P</math> von Halbnormen erzeugt. Sei <math>U\subset X</math> ein Unterraum.
Für jedes <math>p\in \mathcal P</math> ist die ''Quotientenhalbnorm'' <math>\hat{p}</math> eine Halbnorm auf dem Quotientenraum <math>X/U</math>, wobei

:<math>\hat{p}(x+U) := \inf\{p(x+y);\,y\in U\}</math>.

Dann stimmt die Finaltopologie auf <math>X/U</math> mit der durch die Halbnormen <math>\{\hat{p};p\in {\mathcal P}\}</math> erzeugten Topologie überein, insbesondere ist der Quotientenraum wieder lokalkonvex.

== Quelle ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis''. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 54

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]