Abelsche Von-Neumann-Algebra

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Von-Neumann-Algebren, deren Multiplikation kommutativ ist.

Beispiele

Die Algebra der Diagonalmatrizen auf dem endlichdimensionalen Hilbertraum <math>\Complex^n</math> ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die offenbar zur Algebra <math>\Complex^n</math> mit der komponentenweisen Multiplikation isomorph ist. Die Unteralgebra der konstanten Vielfachen der Einheitsmatrix ist ebenfalls eine abelsche Von-Neumann-Algebra.
Der Folgenraum <math>\ell^\infty</math> mit der komponentenweisen Multiplikation ist die unendlichdimensionale Verallgemeinerung des ersten Beispiels. Diese abelsche Von-Neumann-Algebra operiert auf dem Hilbertraum <math>\ell^2</math>.
Ist <math>\lambda</math> das Lebesguemaß auf dem Einheitsintervall [0,1], so definiert jede Funktion <math>f\in L^\infty([0,1],\lambda)</math> durch die Formel <math>M_f(\xi) := f\cdot \xi</math> einen stetigen linearen Operator <math>M_f: L^2([0,1],\lambda)\rightarrow L^2([0,1],\lambda)</math>. Die Algebra <math>\{M_f; f\in L^\infty([0,1],\lambda)\}</math> ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die man einfach mit <math>L^\infty[0,1]</math> bezeichnet.

Abelsche Von-Neumann-Algebren als L^∞-Algebren

Das obige Beispiel der <math>L^\infty</math> ist bis auf Isomorphie bereits der allgemeinste Fall. Es gilt<ref>Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.7.3: Structure of abelian von Neumann algebras</ref>:

Ist <math>A</math> eine abelsche Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum <math>H</math>, so gibt es einen lokalkompakten Hausdorffraum <math>X</math> und ein positives Maß <math>\mu</math> auf <math>X</math> mit Träger <math>X</math>, so dass <math>A</math> isomorph zu <math>L^\infty(X,\mu)</math> ist. Isomorphie bedeutet dabei isometrische *-Isomorphie. Ist der Hilbertraum <math>H</math> separabel, so kann man <math>X</math> als kompakten, metrischen Raum wählen.

Ist umgekehrt <math>(X,\mu)</math> ein Maßraum mit lokalkompaktem <math>X</math>, so definiert jede Funktion <math>f\in L^\infty(X,\mu)</math> durch die Formel <math>M_f(\xi) := f\cdot \xi</math> einen stetigen linearen Operator <math>M_f: L^2(X,\mu)\rightarrow L^2(X,\mu)</math>. Die Algebra <math>A = \{M_f; f\in L^\infty(X,\mu)\}</math> ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die isomorph zu <math>L^\infty(X,\mu)</math> ist. <math>A</math> ist maximal unter allen abelschen Von-Neumann-Algebren auf <math>L^2(X,\mu)</math>.

Abelsche Von-Neumann-Algebren auf separablen Hilberträumen

Die Isomorphisklassen der abelschen Von-Neumann-Algebren über einem separablen Hilbertraum lassen sich vollständig überblicken; beschränkt man sich auf maximale Von-Neumann-Algebren, so kann man Isomorphie sogar durch unitäre Äquivalenz ersetzen.<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393302-1, Theorem 9.4.1</ref>

Es seien <math>A_n \subset L(\Complex^n)</math> die zu <math>\Complex^n</math> und <math>A_\infty</math> die zu <math>\ell^\infty</math> isomorphe Von-Neumann-Algebren aus obigen Beispielen. Jede maximale abelsche Von-Neumann-Algebra über einem separablen Hilbertraum ist unitär äquivalent zu genau einer der Algebren

<math>A_n,\quad 1\le n \le \infty</math>
<math>L^\infty[0,1]</math>
<math>A_n\oplus L^\infty[0,1], \quad 1\le n \le \infty</math>

Dabei heißen zwei Von-Neumann-Algebren <math>A</math> über <math>H</math> und <math>B</math> über <math>K</math> unitär äquivalent, falls es einen unitären Operator <math>u:H \rightarrow K</math> gibt, so dass <math>a\mapsto uau^*</math> ein Isomorphismus <math>A\rightarrow B</math> ist.

Abelsche Von-Neumann-Algebren als C*-Algebren

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind insbesondere kommutative C*-Algebren und als solche nach dem Satz von Gelfand-Neumark isomorph zu einer Algebra <math>C(X)</math> stetiger Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum. <math>X</math> ist ein extremal unzusammenhängender Raum. Die Umkehrung gilt nicht, das heißt, es gibt extremal unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume <math>X</math>, so dass die Algebra <math>C(X)</math> nicht isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist.<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II Academic Press (1983), ISBN 0-12-393301-3, 5.7.21.</ref>

Spektralsatz

Ist <math>a\in L(H)</math> ein selbstadjungierter, beschränkter linearer Operator auf dem Hilbertraum <math>H</math>, so ist die von <math>a</math> erzeugte Von-Neumann-Algebra abelsch und enthält sämtliche Spektralprojektionen von <math>a</math>. Abelsche Von-Neumann-Algebren sind daher ein natürlicher Rahmen zur Entwicklung der Spektraltheorie, was sich auch auf unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren ausdehnen lässt. Dieses Programm wird konsequent in <ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393301-3, Kapitel 5.2 und 5.6</ref> ausgeführt.

Siehe auch

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind Typ I Von-Neumann-Algebren.

Einzelnachweise