Apothema

Datei:01-Apothema-1.svg

Das Apothema (Vorlage:GrcS) einer Kreissehne ist ihr Abstand vom Mittelpunkt des Kreises, also die Länge des Lotes vom Mittelpunkt auf die Sehne.<ref>Paul Huther: Anfangsgründe der Geometrie vorzüglich zum Gebrauche an technischen Schulen. G. Joseph Manz, Regensburg 1838, {{#if: dwYHAAAAcAAJ | {{#if: {{#if: ||1}} {{#if: dwYHAAAAcAAJ ||1}} | <0|&pg={{#if:|RA{{{Band}}}-}}PA42|&pg=42}}{{#if:Apothema derselben|&q=Apothema+derselben}}#v=onepage|{{#if:|&pg=|}}{{#if:Apothema derselben|&q=Apothema+derselben}}}}{{#if:|q=%7B%7B%7BSuchbegriff%7D%7D%7D}}|{{#if:|q=%7B%7B%7BSuchbegriff%7D%7D%7D}}}} {{#if:|{{#invoke:WLink|getEscapedTitle|{{{Linktext}}}}}|eingeschränkte Vorschau}}{{#if:|| in der Google-Buchsuche}}{{#ifeq:|US|-USA}}{{#if: dwYHAAAAcAAJ |{{#invoke: Vorlage:GoogleBook|fine |id=dwYHAAAAcAAJ |errN=Parameter „BuchID“ hat falsche Länge |errC=Parameter „BuchID“ enthält ungültige Zeichen |errH=# in der „BuchID“ |errP=Parameterzuweisungen in der „BuchID“ |class=editoronly |cat={{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Google Buch}} |template= Vorlage:Google Buch}} }} | Es darf nur genau einer der beiden Parameter „Suchbegriff“ oder „BuchID“ ausgefüllt werden. Bitte beachte die in der Vorlage:Google Buch befindliche Dokumentation und prüfe die verwendeten Parameter.{{#ifeq: 0 | 0 | }}}} | Es muss mindestens einer der beiden Parameter „Suchbegriff“ oder „BuchID“ ausgefüllt werden. Bitte beachte die in der Vorlage:Google Buch befindliche Dokumentation und prüfe die verwendeten Parameter.{{#ifeq: 0 | 0 | }}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= |opt= Suchbegriff= BuchID= Seite= Band= SeitenID= Hervorhebung= Linktext= Land= KeinText= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Google Buch}} |template= Vorlage:Google Buch |format= @@@ }}{{#if:|{{#if:{{#invoke:WLink|isBracketedLink|{{{Linktext}}}}}| Linktext ungültig}}}}.</ref>

Das Apothema eines regelmäßigen Vielecks<ref>J. Michael Köberlein: Lehrbuch der Elementar-Geometrie und Trigonometrie zunächst für Gymnasien und Lyzeen. J. E. von Seidel, Sulzbach 1824, {{#if: F0-NnQEACAAJ | {{#if: {{#if: ||1}} {{#if: F0-NnQEACAAJ ||1}} | <0|&pg={{#if:|RA{{{Band}}}-}}PA155|&pg=155}}{{#if:Apothema des Vielecks|&q=Apothema+des+Vielecks}}#v=onepage|{{#if:|&pg=|}}{{#if:Apothema des Vielecks|&q=Apothema+des+Vielecks}}}}{{#if:|q=%7B%7B%7BSuchbegriff%7D%7D%7D}}|{{#if:|q=%7B%7B%7BSuchbegriff%7D%7D%7D}}}} {{#if:|{{#invoke:WLink|getEscapedTitle|{{{Linktext}}}}}|eingeschränkte Vorschau}}{{#if:|| in der Google-Buchsuche}}{{#ifeq:|US|-USA}}{{#if: F0-NnQEACAAJ |{{#invoke: Vorlage:GoogleBook|fine |id=F0-NnQEACAAJ |errN=Parameter „BuchID“ hat falsche Länge |errC=Parameter „BuchID“ enthält ungültige Zeichen |errH=# in der „BuchID“ |errP=Parameterzuweisungen in der „BuchID“ |class=editoronly |cat={{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Google Buch}} |template= Vorlage:Google Buch}} }} | Es darf nur genau einer der beiden Parameter „Suchbegriff“ oder „BuchID“ ausgefüllt werden. Bitte beachte die in der Vorlage:Google Buch befindliche Dokumentation und prüfe die verwendeten Parameter.{{#ifeq: 0 | 0 | }}}} | Es muss mindestens einer der beiden Parameter „Suchbegriff“ oder „BuchID“ ausgefüllt werden. Bitte beachte die in der Vorlage:Google Buch befindliche Dokumentation und prüfe die verwendeten Parameter.{{#ifeq: 0 | 0 | }}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= |opt= Suchbegriff= BuchID= Seite= Band= SeitenID= Hervorhebung= Linktext= Land= KeinText= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Google Buch}} |template= Vorlage:Google Buch |format= @@@ }}{{#if:|{{#if:{{#invoke:WLink|isBracketedLink|{{{Linktext}}}}}| Linktext ungültig}}}}.</ref> ist das Apothema seiner Kanten (als Sehnen im Umkreis) und gleichzeitig sein Inkreisradius.

Berechnung

Datei:01-Apothema.svg

Apothema der Sehne Vorlage:Overline (mit Mittelpunkt L) eines Kreises (um M) ist die Länge a = Vorlage:Overline.

Ist <math>r</math> der Kreisradius und <math>l</math> die Länge der Kreissehne, dann gilt nach dem Satz des Pythagoras für das Apothemas <math>a</math>

und damit

<math>a = \sqrt{r^2 - \tfrac{l^2}4}</math>.

Das Apothema eines regelmäßigen n-Ecks der Kantenlänge <math>l</math> ist

<math>a = \frac{l} {2 \, \tan \frac{180^\circ}{n}}</math>.

Damit kann sein Flächeninhalt zu <math>A = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot l\cdot a</math> ermittelt werden. Für verschiedene <math>n</math> ergeben sich die folgenden Werte:

regelmäßiges Vieleck	Seitenlänge	Apothema	Fläche
Dreieck	<math> l = r \cdot \sqrt{3}</math>	<math> a = r \cdot \tfrac 12</math>	<math> A = r^2 \cdot \tfrac{3 \sqrt{3}}{4}</math>
Viereck	<math> l = r \cdot \sqrt{2}</math>	<math> a = r \cdot \tfrac12 \sqrt{2}</math>	<math> A = r^2 \cdot 2</math>
Fünfeck	<math> l = r \cdot \sqrt{\tfrac12 (5-\sqrt{5})}</math>	<math> a = r \cdot \tfrac14 (1+\sqrt{5})</math>	<math> A = r^2 \cdot \tfrac58 \sqrt{(10+2\sqrt{5})}</math>
Sechseck	<math> l = r \,</math>	<math> a = r \cdot \tfrac12 \sqrt{3}</math>	<math> A = r^2 \cdot \tfrac{3}{2} \sqrt{3} </math>
Achteck	<math> l = r \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}</math>	<math> a = r \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac14 \sqrt{2}}</math>	<math> A = r^2 \cdot 2 \sqrt{2}</math>
<math>n</math>-Eck	<math> l = r \cdot 2 \cdot \sin \tfrac{180^\circ}{n} </math>	<math> a = r \cdot \cos \tfrac{180^\circ}{n}</math>	<math> A = r^2 \cdot \tfrac{n}{2} \cdot \sin \tfrac{360^\circ}{n} </math>
<math>n \to \infty</math> (Kreis)	<math> l \to 0 </math>	<math> a \to r </math>	<math> A \to r^2 \cdot \pi</math>

Siehe auch

Sagitta-Methode

Weblinks

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| FEHLER: Ohne Category: angeben!}}}}

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  }}

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Apothem. In: MathWorld (englisch). {{#if: Apothem | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | Apothem | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Sagitta, Apothem, and Chord Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project

Einzelnachweise