Zum Inhalt springen

Bochner-Integral

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen. Das Integral lässt sich aber auch auf lokalkonvexe Räume verallgemeinern.

Definition

Es seien <math>(\Omega,\mathcal A,\mu)</math> ein <math>\sigma</math>-endlicher, vollständiger Maßraum und <math>(B,\|\cdot\|)</math> ein Banachraum.

Das Bochner-Integral <math>\int_\Omega f\,{\rm d}\mu</math> einer Funktion <math>f\colon\Omega\to B</math> ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

<math>s(x)=\sum_{i=1}^m\alpha_i\chi_{X_i}(x)</math>

mit Faktoren <math>\alpha_i\in B</math> und messbaren Mengen <math>X_i\in\mathcal A</math>, wobei <math>\chi_{X_i}</math> deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

<math>\int_\Omega s\,{\rm d}\mu:=\sum_{i=1}^m\alpha_i\mu(X_i)</math>,

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von <math>s</math> ist.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Bemerkung X.2.1 (a).</ref>

Eine Funktion <math>f\colon \Omega \rightarrow B</math> heißt <math>\mu</math>-messbar oder Bochner-messbar, wenn es eine Folge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> einfacher Funktionen gibt, so dass <math>\textstyle \lim_{n\to\infty}s_n(x) = f(x)</math> für <math>\mu</math>-fast alle <math>x \in \Omega</math> gilt.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 65.</ref>

Eine <math>\mu</math>-messbare Funktion <math>f\colon \Omega \rightarrow B</math> heißt Bochner-integrierbar<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 87.</ref>, falls es eine Folge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> einfacher Funktionen gibt, so dass

  • <math>\lim_{n\to\infty}s_n(x) = f(x)</math> für <math>\mu</math>-fast alle <math>x \in \Omega</math> gilt und
  • zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>n_0 = n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N}</math> existiert mit
<math>\int_\Omega \|s_n-s_k\| {\rm d}\mu < \varepsilon</math> für alle <math>n, k \geq n_0</math>.

In diesem Fall ist

<math>\int_\Omega f\,{\rm d}\mu:=\lim_{n\to\infty}\int_\Omega s_n\,{\rm d}\mu</math>

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> mit obigen Eigenschaften.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Korollar X.2.7.</ref> Falls <math>M \in \mathcal{A}</math> und <math>f\colon M \rightarrow B</math>, so schreibt man

<math>\int_Mf{\rm d}\mu := \int_\Omega \tilde{f}{\rm d}\mu</math> mit <math>\tilde{f}(x) := \left\{\begin{array}{ll}f(x)\ ,&{\rm falls}\ x \in M\ ,\\0\ ,&{\rm falls}\ x \in \Omega \setminus M,\\\end{array}\right.</math>

sofern <math>\tilde{f}</math> Bochner-integrierbar ist.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 94.</ref>

Messbarkeitssatz von Pettis

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die <math>\mu</math>-Messbarkeit:

Die Funktion <math>f\colon\Omega\to B</math> ist genau dann <math>\mu</math>-messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

  • Für jedes stetige lineare Funktional <math>\phi\in B'</math> ist <math>\phi\circ f\colon\Omega\to {\mathbb K}</math> <math>\mu</math>-messbar.
  • Es gibt eine <math>\mu</math>-Nullmenge <math>N\subset\Omega</math>, so dass <math>f(\Omega\setminus N)\subset B</math> separabel bzgl. der Normtopologie ist.

Ist <math>B</math> ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die <math>\mu</math>-Messbarkeit <math>B</math>-wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die <math>\mu</math>-Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Bochner-Integrierbarkeit

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrierbarer Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine <math>\mu</math>-messbare Funktion <math>f\colon\Omega\to B</math> ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn <math>\|f\|:\Omega\to\mathbb{R}</math> Lebesgue-integrierbar ist.

Eigenschaften

In diesem Abschnitt ist <math>B</math> ein Banachraum und <math>f, g\colon \Omega \rightarrow B</math> sind integrierbare Funktionen.

Linearität

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen <math>f, g \colon \Omega \rightarrow B</math> und beliebige <math> \alpha , \beta \in \mathbb{K} </math> ist auch <math> \alpha f + \beta g </math> integrierbar, und es gilt:

<math> \int_{\Omega} (\alpha f + \beta g) \, \mathrm{d}\mu = \alpha \int_{\Omega} f \, \mathrm{d}\mu + \beta \int_{\Omega} g \, \mathrm{d}\mu </math>.

Verkettung mit einem stetigen Operator

Es sei <math>D</math> ein Banachraum und <math>T \in L(B,D)</math> ein stetiger linearer Operator. Dann ist <math>T f \colon \Omega \to D</math> eine integrierbare Funktion und es gilt<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 92.</ref>

<math>T \left(\int_\Omega f(x) \mathrm{d} \mu(x) \right) = \int_\Omega T(f(x)) \mathrm{d} \mu(x)</math>.

Radon–Nikodym-Eigenschaft

{{#if: Radon-Nikodym-Eigenschaft|{{#ifexist:Radon-Nikodym-Eigenschaft|

|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|

→ Haupt{{#if:|seite|artikel}}: [[{{{2}}}{{#if: ||{{{titel2}}}}}]]{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}| und [[{{{3}}}{{#if: ||{{{titel3}}}}}]]|}}|}}

|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|

→ Haupt{{#if:|seite|artikel}}: [[{{{3}}}{{#if: ||{{{titel3}}}}}]]

|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}

Der Satz von Radon-Nikodým gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.<ref>Joseph Diestel, John Jerry Uhl: Vector Measures (= Mathematical Surveys. Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-8218-1515-6, Corollary III.2.13.</ref>

Bochner-Lebesgue-Räume

Ist <math>(\Omega,\mathcal A,\mu)</math> ein <math>\sigma</math>-endlicher, vollständiger Maßraum und <math>(B,\|\cdot\|)</math> ein Banachraum, so nennt man für <math>1\leq p\leq \infty</math> den Raum <math>L^p(\Omega,\mathcal A,\mu,B)</math> der Bochner-integrierbaren Funktionen <math>\Omega\rightarrow B</math> einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich <math>\mu</math>-fast gleiche Funktionen identifiziert werden durch Äquivalenzklassen. Man erhält mit der Norm

<math>\|f\|_p := \left(\int_\Omega \|f(\omega)\|^p\mathrm{d}\mu(\omega)\right)^{1/p},\quad 1\leq p<\infty</math>
<math>\|f\|_\infty := \mathrm{ess} \sup\|f(\omega)\|,\quad\quad p=\infty</math>

einen Banachraum. Dieser lässt sich für <math>p=1</math> wie folgt als Tensorprodukt beschreiben. Man rechnet nach, dass durch

<math>L^1(\Omega,\mathcal A,\mu) \times B \rightarrow L^1(\Omega,\mathcal A,\mu,B),\, (f,\alpha) \mapsto f(\cdot)\alpha</math>

eine bilineare Abbildung gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus

<math>L^1(\Omega,\mathcal A,\mu) \mathbin{\hat{\otimes}_{\pi}} B \cong L^1(\Omega,\mathcal A,\mu,B)</math>

definiert, wobei <math>\hat{\otimes}_{\pi}</math> das projektive Tensorprodukt bezeichne.<ref>Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.19</ref>

Erweiterung auf lokalkonvexe Räume

Es ist möglich das Bochner-Integral auf lokalkonvexe Räume zu erweitern, dies wurde 1975 von Wjatscheslaw Rybakow<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>, 1981 durch Chris Blondia<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> und 2015 von Ralf Beckmann und Anton Deitmar gemacht<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>, wobei Beckmann und Deitmar den ursprünglichen Ansatz von Bochner für vektorwertige Integrale auf Netze erweiterten.

Die nachfolgende Definition stammt von Blondia:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref>

Es seien <math>(\Omega,\mathcal A,\mu)</math> ein <math>\sigma</math>-endlicher, vollständiger Maßraum. Weiter sei <math>(X,\mathcal{P})</math> ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum, der vollständig ist und dessen Topologie durch eine Familie von Seminormen <math>\mathcal{P}</math> erzeugt wird. Eine Funktion <math>f\colon \Omega \to X</math> heißt stark-integrierbar oder Bochner-integrierbar, wenn eine Folge <math>(f_n)</math> existiert, so dass

  • <math>f_n(\omega)\to f(\omega)</math> für <math>\mu</math>-fast alle <math>\omega\in \Omega</math> gilt.
  • <math>p(f(\omega)-f_n(\omega))\in L^1(\Omega;\mathbb{R})</math> für jedes <math>n\in \mathbb{N}</math> und alle Seminormen <math>p\in \mathcal{P}</math>, das heißt
<math>\lim\limits_{n\to \infty}\int_{\Omega} p(f(\omega)-f_n(\omega))d\mu=0.</math>
  • <math>\int_A f_n(\omega) d\mu</math> konvergiert für jede messbare Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>.

Ansatz von Beckmann und Deitmar

Beckmann und Deitmar verwenden den Begriff der Bochner-Approximierbarkeit für <math>f\colon \Omega \to X</math> als Voraussetzung für die Bochner-Integrierbarkeit und geben eine Charakterisierung dieses Begriffs. Eine Funktion heißt Bochner-approximierbar falls ein Netz <math>(s_j)_{j\in J}</math> von einfachen Funktionen existiert, so dass für jede stetige Seminorm <math>p</math> auf <math>X</math>

<math>\int_\Omega p(f-s_j)d\mu\to 0</math>

gilt. Eine alternative Bedingung ohne den Begriff des Netzes lautet wie folgt: <math>f</math> ist Bochner-approximierbar, falls für jede stetige Seminorm <math>p</math> eine einfache Funktion <math>s_p</math> mit der Eigenschaft

<math>\int_\Omega p(f-s_p)d\mu< 1</math>

existiert.

Sie unterscheiden zwischen drei Fällen an Anforderungen an den lokalkonvexen Raum <math>X</math><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

  • <math>X</math> ist vollständig
  • <math>X</math> ist quasivollständig und die Funktion <math>f</math> ist beschränkt,
  • <math>X</math> ist quasivollständig und das Maß ist endlich <math>\mu(\Omega)<\infty</math>.

Siehe auch

Literatur

  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
  • Malempati M. Rao: Measure Theory and Integration (= Pure and Applied Mathematics. A Program of Monographs, Textbooks, and Lecture Notes. Bd. 265). 2nd edition, revised and expanded. Dekker, New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-5401-8, S. 505 ff.

Weblinks

Einzelnachweise

<references />

Abgerufen von „https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Bochner-Integral&oldid=1483411“