Casimir-Operator

Der Casimir-Operator (auch Casimir-Invariante, benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir) wird im mathematischen Teilgebiet der Algebra und der Differentialgeometrie untersucht. Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra. Ein typisches Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator, der eine Casimir-Invariante der dreidimensionalen Drehgruppe ist.

Definition

Angenommen, <math>\mathfrak{g}</math> ist eine <math>n</math>-dimensionale halbeinfache Lie-Algebra. Sei

irgendeine Basis von <math>\mathfrak{g}</math> und

sei die Dualbasis von <math>\mathfrak{g}</math> hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform (z. B. der Killingform) auf <math>\mathfrak{g}</math>. Das quadratische Casimir-Element <math>\Omega</math> ist das durch die Formel

<math>\Omega = \sum_{i=1}^n X_i X^i</math>

gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra <math>U(\mathfrak{g})</math>. Obschon sich die Definition des Casimir-Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element <math>\Omega</math> davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra <math>U(\mathfrak{g})</math> liegt.

Sei <math>\rho</math> eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum <math>V</math>. Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir-Invariante <math>\rho(\Omega)</math> der durch

<math>\rho(\Omega) = \sum_{i=1}^n \rho(X_i)\rho(X^i)</math>

gegebene lineare Operator auf <math>V</math>.

Anwendungen

Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Operiert eine zusammenhängende Lie-Gruppe <math>G</math> mit zugehöriger Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit <math>M</math>, so werden die Elemente von <math>\mathfrak{g}</math> durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf <math>M</math> beschrieben. Sei <math>\rho</math> die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf <math>M</math>. In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der <math>G</math>-invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf <math>M</math>.

Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo-Differentialoperatoren in der Fredholm-Theorie.

Literatur

James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, 2. überarbeitete Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5