Wirtinger-Kalkül
Bei dem Wirtinger-Kalkül, und seiner Verallgemeinerung durch die Dolbeault-Operatoren, handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger und die Dolbeault-Operatoren sind nach Pierre Dolbeault benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden. Außerdem finden die Dolbeault-Operatoren Anwendung in der Theorie der quasikonformen Abbildungen.
Wirtinger-Kalkül
Eine komplexe Zahl <math>z \in \Complex</math> wird durch <math>z := x + \mathrm iy</math> in zwei reelle Zahlen zerlegt. Sei <math>G \subset \R^2</math> ein Gebiet und <math>f = u + \mathrm i v \colon G \to \Complex</math> eine (reell) differenzierbare Funktion. Dann existieren die partiellen Ableitungen
- <math>\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} + \mathrm i \frac{\partial v}{\partial x}</math>
und
- <math>\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} + \mathrm i \frac{\partial v}{\partial y}</math>.
Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diese einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss. Statt der Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> verwendet man <math>z = x + \mathrm i y</math> und <math>\bar z = x - \mathrm i y</math>.
Motivation und Definition
Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von <math>f</math> als
- <math>\mathrm df = \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm dx + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm dy</math>.
Aus <math>z = x + \mathrm i y</math> und <math>\bar z = x - \mathrm i y</math> ergibt sich
- <math>\textstyle x = \frac12 (z + \bar z)</math> und <math>\textstyle y = \frac1{2\mathrm i} (z - \bar z) = \frac \mathrm i{2} (\bar z - z)</math>.
Für die Differentiale erhält man daraus
- <math>\mathrm dx = \frac12(\mathrm dz + \mathrm d\bar z) </math> und <math>\mathrm dy = \frac \mathrm i{2}(\mathrm d\bar z -\mathrm dz) </math>.
Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert
- <math>\mathrm df = \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}-\mathrm i\frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm dz +
\frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm i\frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm d\bar z</math>.
Um (formal) die Beziehung
- <math>\mathrm df = \frac{\partial f}{\partial z} \mathrm dz + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \mathrm d\bar z</math>
zu erhalten, setzt man
- <math>\frac{\partial f}{\partial z}:= \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}-\mathrm i\frac{\partial f}{\partial y}\right)</math>
und
- <math>\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}:= \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm i\frac{\partial f}{\partial y}\right)</math>.
Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.
Für <math>\textstyle\frac{\partial f}{\partial z}</math> schreibt man auch kurz <math>\,\partial f</math>, für <math>\textstyle\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}</math> schreibt man <math>\bar \partial f</math>. Der Operator <math>\overline{\partial}</math> heißt Cauchy-Riemann-Operator.
Holomorphe Funktionen
Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.
Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn <math>\overline{\partial} f = 0</math> gilt. In diesem Fall ist <math>\partial f</math> die Ableitung von <math>f</math>. Dies gilt, da die Gleichung <math>\overline{\partial} f = 0</math> eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator <math>\overline{\partial}</math> den Namen Cauchy-Riemann-Operator.
Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion <math>f</math> die Gleichung <math>\partial f = 0</math> so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus <math>\overline{\partial} f </math> berechnet werden.
Eigenschaften
Beziehung zur partiellen Ableitung
Es gelten die Gleichungen
- <math>\frac{\partial f}{\partial x} = \partial f + \overline{\partial} f</math>
und
- <math>\frac{\partial f}{\partial y} = \mathrm i\left(\partial f - \overline{\partial} f\right)</math>.
Linearität
Die Operatoren <math>\partial</math> und <math>\overline{\partial}</math> sind <math>\Complex</math>-linear, das heißt für <math>a,b \in \Complex</math> und reell differenzierbare Funktionen <math>f, g \colon G \to \Complex</math> gilt
- <math>\partial (af + b g) = a \partial f + b \partial g</math>
und
- <math>\overline{\partial} (af + b g) = a \overline{\partial} f + b \overline{\partial} g</math>.
Komplexe Konjugation
Für jede reell differenzierbare Funktion <math>f</math> gilt
- <math>\overline{\partial} f = \overline{\partial\overline{f}}</math>
und
- <math>\overline{\partial}\ \overline{f} = \overline{\partial f}</math>.
Kettenregel
Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel
- <math>\frac{\partial (g \circ f)}{\partial z}(z_0) = \frac{\partial g}{\partial w}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) + \frac{\partial g}{\partial \overline{w}}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial \overline{f}}{\partial z}(z_0)</math>
und
- <math>\frac{\partial (g \circ f)}{\partial \overline{z}}(z_0) = \frac{\partial g}{\partial w}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z_0) + \frac{\partial g}{\partial \overline{w}}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{z}}(z_0)</math>.
Hauptsymbol
Das Hauptsymbol von <math>\partial</math> ist <math>\xi \mapsto \tfrac{1}{2} (\xi_1 - \mathrm i \xi_2)</math> und das Hauptsymbol von <math>\overline{\partial}</math> ist <math>\xi \mapsto \tfrac{1}{2} (\xi_1 + \mathrm i \xi_2)</math>. Beide Differentialoperatoren sind also elliptisch.
Assoziierter Laplace- und Dirac-Operator
Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch
- <math>\Delta f = 4 \partial \overline{\partial} f = 4 \overline{\partial} \partial f</math>
darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator
- <math>D := 2\begin{pmatrix}0 & -\partial \\ \overline{\partial} & 0 \end{pmatrix}</math>
ein Dirac-Operator ist.
Fundamentallösung
Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}}</math> ist <math>\textstyle \frac{1}{\pi z}</math>, das heißt die durch die Funktion <math>\textstyle u(z) = \frac{1}{\pi z}</math> erzeugte Distribution löst die Gleichung <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}} u(z) = \delta</math>, wobei <math>\delta</math> die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.
Dolbeault-Operator
Mit Hilfe des Wirtinger-Kalküls kann man auch mehrdimensionale Abbildungen untersuchen. Wie oben werden Elemente von <math>\Complex^n</math> zerlegt in <math>(z_1, \ldots z_n) = (x_1 + \mathrm iy_1, \ldots , x_n + \mathrm i y_n)</math>. Sei nun <math>D \subset \mathbb{C}^n</math> eine offene Teilmenge und <math>f = (f_1, \ldots , f_m): D \rightarrow \mathbb{C}^m</math> eine (reell) differenzierbare Abbildung. Dazu definiert man die dem Wirtinger-Kalkül ähnlichen partiellen Differentialoperatoren
- <math>\frac{\partial}{\partial z_j} := \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_j} - \mathrm i \frac{\partial}{\partial y_j} \right)\quad j = 1, \ldots , n</math>
und
- <math>\frac{\partial}{\partial\bar z_j} := \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_j} + \mathrm i \frac{\partial}{\partial y_j} \right)\quad j = 1, \ldots , n</math>
auf <math>\Complex^n</math>. Mit Hilfe dieser partiellen Differentialoperatoren kann man den Dolbeault-Operator und den Dolbeault-Quer-Operator durch
- <math> \partial f := \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial z_j} f {\rm d} z_j</math>
und
- <math> \overline{\partial} f := \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial \overline{z}_j} f {\rm d} \overline{z}_j</math>
definieren. Diese können als mehrdimensionale Wirtinger-Ableitungen verstanden werden und werden deshalb genauso notiert. Außerdem haben die Dolbeault-Operatoren ähnliche Eigenschaften wie die Wirtinger-Ableitungen. Insbesondere gilt auch, dass <math>f</math> genau dann holomorph ist, wenn <math>\overline{\partial}f = 0</math> gilt und die reelle Ableitung wird durch
- <math>{\mathrm d} f = \overline{\partial} f + \partial f</math>
dargestellt. Im holomorphen Fall gilt <math>\textstyle \mathrm d f = \partial f</math>, da ja <math>\overline{\partial} f = 0</math> gilt.
Dolbeault-Operatoren auf Mannigfaltigkeiten
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Der Dolbeault-Operator und der Dolbeault-Quer-Operator lassen sich auch auf komplexen Mannigfaltigkeiten definieren, jedoch muss dafür erst der Kalkül der komplexen Differentialformen definiert werden. Mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators kann man analog wie im vorigen Abschnitt holomorphe Differentialformen definieren. Eine der wichtigsten Anwendungen dieser Operatoren ist in der Hodge-Theorie insbesondere in der Dolbeault-Kohomologie, welche das komplexe Analogon zur De-Rham-Kohomologie ist, zu finden.
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Del Bar Operator. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Literatur
- Ingo Lieb & Wolfgang Fischer: Funktionentheorie: Komplexe Analysis in einer Veränderlichen, Vieweg & Teubner, 2005, ISBN 978-3-8348-0013-8.
- Ingo Lieb: The Cauchy-Riemann Complex, Vieweg Aspects of Mathematics, 2002, ISBN 978-3-528-06954-4.