Dedekindsche Zeta-Funktion
Die Dedekindsche Zeta-Funktion eines Zahlkörpers <math>K</math> ist definiert als
- <math>\zeta_K(s):=\sum_\mathfrak{a}{\mathfrak{N}(\mathfrak{a})}^{-s}</math>
wobei <math>\mathfrak{a}</math> die Ideale des Ganzheitsrings <math> O(K) </math> des Zahlkörpers <math>K</math> durchläuft und <math>\mathfrak{N}(\mathfrak{a})</math> deren Absolutnorm ist. Die Reihe <math>\zeta_K(s)</math> ist absolut und gleichmäßig konvergent im Bereich <math>\Re (s)\geq 1+\delta </math> für alle <math>\delta >0</math> und es gilt die Produktdarstellung
- <math>\zeta_K (s)=\prod_\mathfrak{p}\frac{1}{1-{\mathfrak{N}(\mathfrak{p})}^{-s}}</math>,
wobei <math>\mathfrak{p}</math> die Primideale von <math>O(K)</math> durchläuft. Die Zeta-Funktion besitzt eine analytische Fortsetzung auf <math>\mathbb{C}\setminus\{1\}</math> sowie einen Pol in <math> s = 1</math>.
Die Dedekindsche Zeta-Funktion stellt somit eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion dar, die mit dem Körper der rationalen Zahlen (dessen Ganzheitsring gerade <math> \mathbb{Z} </math> ist) korrespondiert.
Siehe auch
Literatur
- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, ISBN 2-540-54273-5
- Wolfgang Schwarz: Aus der Geschichte der Zahlentheorie, Ergänzte Ausarbeitung einer einstündigen Vorlesung im Winter-Semester 2000/2001, Frankfurt am Main
- Stavros Garoufalidis, James E. Pommersheim: Values of zeta functions at negative integers, Dedekind sums and toric geometry, Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA, USA.