Dissipativer Operator

In der linearen Theorie sind dissipative Operatoren lineare Operatoren, die auf reellen oder komplexen Banachräumen definiert sind und gewisse Normabschätzungen erfüllen. Durch den Satz von Lumer-Phillips spielen sie eine wichtige Rolle bei der Betrachtung stark stetiger Halbgruppen.

Definition

Seien <math>X</math> ein Banachraum und <math>D(A)\subset X</math>. Ein linearer Operator <math>A \colon D(A)\rightarrow X</math> mit

<math>\|(\lambda-A)x\|\geq \lambda\|x\|</math>

für alle <math>\lambda>0</math> und <math>x\in D(A)</math> wird dissipativ genannt.<ref name="Werner375">Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 375.</ref> Diese Bezeichnung geht auf Ralph Phillips zurück.

Ist <math>A</math> ein linearer Operator und <math>-A</math> dissipativ, so wird <math>A</math> akkretiv genannt.<ref name=Werner375 /> Diese Bezeichnung wurde von Tosio Kato und Kurt Friedrichs eingeführt.

Hilbertraum

Wenn <math>X</math> ein Hilbertraum ist, ist ein linearer Operator <math>A \colon D(A)\rightarrow X</math> genau dann dissipativ, falls

<math>\operatorname{Re}\,\langle Ax,x\rangle\leq 0</math>

für alle <math>x\in D(A)</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}</math> den Realteil bezeichnet.<ref name=Werner375 />

Folgerungen

Sei <math>(A,D(A))</math> ein dissipativer Operator auf einem Banachraum <math>X</math>.

<math>\lambda - A</math> ist für ein <math>\lambda>0</math> surjektiv genau dann, wenn <math>\lambda-A</math> für alle <math>\lambda>0</math> surjektiv ist. Alsdann heißt <math>(A,D(A))</math> m-dissipativ und erzeugt eine stark stetige Operatorhalbgruppe.<ref>Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 376–377.</ref>
<math>A</math> ist abgeschlossen genau dann, wenn das Bild von <math>\lambda-A</math> für ein <math>\lambda>0</math> abgeschlossen ist.

Beispiel

Betrachtet man auf einem beschränkten Gebiet <math>\Omega\subset\R^n</math> den Laplace-Operator <math>\Delta</math> mit Dirichlet-Randbedingung auf <math>L^2(\Omega)</math> (siehe <math>L^p</math>-Raum), also <math>D(\Delta)=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)</math>, erhält man:

<math>\langle\Delta u,u\rangle=-\langle \nabla u, \nabla u\rangle=-\|\nabla u\|^2\leq 0</math>.

Der Satz von Lax-Milgram beweist, dass <math> \Delta:D(\Delta)\rightarrow L^2(\Omega) </math> m-dissipativ ist und somit eine stark stetige Operatorhalbgruppe erzeugt.

Einzelnachweise