Satz von Lumer-Phillips

Der Satz von Lumer-Phillips ist ein Resultat aus der Theorie der stark stetigen Halbgruppen und charakterisiert Kontraktionshalbgruppen:

Seien <math>X</math> ein Banachraum und <math>(A,D(A))</math> ein in <math>X</math> dicht definierter, dissipativer Operator. Dann erzeugt der Abschluss <math>\overline A</math> von <math>A</math> eine Kontraktionshalbgruppe, also <math>\|e^{tA}\|\leq 1</math> für alle <math>t \ge 0</math>, genau dann, wenn für ein <math>\lambda>0</math> das Bild von <math>\lambda-A</math> dicht in <math>X</math> liegt.

Der Satz wurde 1961 von Günter Lumer und Ralph Phillips bewiesen und gehört mit dem Satz von Hille-Yosida zu den wichtigsten Sätzen aus dem Bereich der stark stetigen Halbgruppen. Im Gegensatz zum Satz von Hille-Yosida werden aber keine Abschätzungen für die Resolvente benötigt, so dass die Anwendung des Satzes von Lumer-Phillips im Falle eines konkreten Operators sich häufig einfacher gestaltet als die Anwendung des Satzes von Hille-Yosida.

Folgerungen

• Sei <math>(A,D(A))</math> ein dicht definierter Operator auf einem Banachraum <math>X</math>. Sind sowohl <math>A</math> als auch die Adjungierte <math>A^*</math> dissipativ, erzeugt der Abschluss von <math>A</math> eine Kontraktionshalbgruppe.
• Ist <math>(A,D(A))</math> ein dissipativer Operator auf einem reflexiven Banachraum <math>X</math> und liegt das Bild von <math>\lambda-A</math> dicht in <math>X</math>, dann ist der Definitionsbereich vom Abschluss <math>\overline A</math> von <math>A</math> dicht in <math>X</math>. Aus dem Satz von Lumer-Phillips folgt, dass <math>\overline A</math> eine Kontraktionshalbgruppe erzeugt.

Beispiel

• Betrachtet man auf <math>X:=L^2([0,1],\R)</math> (siehe <math>L^p</math>-Raum) den Laplace-Operator <math>Au:=u</math> mit Dirichlet-Randbedingung, also <math>D(A):=\{u\in H^2([0,1],\R): u(0)=u(1)=0\}</math>, so ist <math>A:D(A)\rightarrow X</math> invertierbar. Außerdem folgt aus der partiellen Integration <math>\langle Au,u\rangle=\int_0^1 u u\,\mathrm dx=-\int_0^1 u'u'\,\mathrm d x\leq 0</math>. Somit erzeugt <math>A</math> eine Kontraktionshalbgruppe.

Literatur

• Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-90845-5.
• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-Parameter Semigroups for linear Evolution Equations. Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag 2000, ISBN 0-387-98463-1.