Endliche Von-Neumann-Algebra

Endliche Von-Neumann-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um Von-Neumann-Algebren, deren Projektionen einer gewissen Endlichkeitsbedingung genügen.

Definitionen

Es sei <math>A</math> eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum <math>H</math>. Projektionen sind Elemente aus <math>A</math> mit der Eigenschaft <math>e=e^* = e^2</math>. Den Arbeiten von Murray und von Neumann über die heute sogenannten Von-Neumann-Algebren lag die Idee zu Grunde, Projektionen in Analogie zu Mengen zu untersuchen. Die Äquivalenz zweier Projektionen wird in Analogie zur Gleichmächtigkeit von Mengen definiert: <math>e_1</math> und <math>e_2</math> heißen äquivalent, wenn es ein <math>v\in A</math> gibt mit <math>e_1=v^*v</math> und <math>e_2=vv^*</math>; man schreibt <math>e_1 \sim e_2</math>. Der Teilmengenbeziehung entspricht die Teilmengenbeziehung der projizierten Räume, das heißt man definiert <math>e_1\le e_2</math> als <math>e_1(H) \subset e_2(H)</math>. Da eine Menge genau dann endlich ist, wenn sie zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, definiert man im Sinne der hier verfolgten Analogie:

Eine Projektion <math>e\in A</math> heißt endlich, falls <math>e\sim e_1 \le e</math> nur für <math>e=e_1</math> möglich ist. Man beachte, dass dieser Endlichkeitsbegriff von <math>A</math> abhängt, da der Äquivalenzbegriff von <math>A</math> abhängt.

Eine Von-Neumann-Algebra <math>A</math> heißt endlich, wenn das Einselement <math>1=\mathrm{id}_H</math> als Projektion aus <math>A</math> endlich ist.

Beispiele

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind endlich, denn für diese ist die Äquivalenz von Projektionen mit deren Gleichheit gleichbedeutend.
Die endlichdimensionalen Algebren <math>A=L(\Complex^n)</math> über einem endlichdimensionalen Hilbertraum sind endlich, denn äquivalente Projektionen haben gleiche Dimension.
Die Algebra <math>L(\ell^2)</math> über dem Folgenraum <math>\ell^2</math> ist nicht endlich, denn ist <math>s\in L(\ell^2)</math> der Shiftoperator, so ist <math>1=s^*s \sim ss^* < 1</math>.
Es sei <math>G</math> eine diskrete Gruppe. Jedes Element <math>g\in G</math> operiert als Linksoperator <math>l_g</math> und als Rechtsoperator <math>r_g</math> auf dem Hilbertraum <math>\ell^2(G)</math> in dem man <math>(l_g(x))(h) := x(g^{-1}h)</math> und <math>(r_g(x))(h) := x(hg^{-1})</math> definiert. Es seien <math>L_G</math> und <math>R_G</math> die von <math>\{l_g;\, g\in G\}</math> bzw. <math>\{r_g;\, g\in G\}</math> erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind <math>L_G</math> und <math>R_G</math> endlich und gegenseitige Kommutanten.<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, 6.7.2 – 6.7.4</ref>

Die Spur auf einer endlichen Von-Neumann-Algebra

Ist <math>A</math> eine endliche Von-Neumann-Algebra mit Zentrum <math>Z</math>, so gibt es genau eine lineare Abbildung <math>\tau: A\rightarrow Z</math> mit folgenden Eigenschaften<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.2.8</ref><ref>Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, III.4 Existence and uniqueness theorems for operator traces</ref>:

<math>\tau</math> ist positiv, das heißt aus <math>a\ge 0</math> folgt <math>\tau(a)\ge 0</math>
<math>\tau</math> ist eine Spur, das heißt <math>\tau(ab)=\tau(ba)</math> für alle <math>a,b\in A</math>
<math>\tau</math> ist eine Projektion auf <math>Z</math>, das heißt <math>\tau(z)=z</math> für alle <math>z\in Z</math>.

Die eindeutig bestimmte Spur heißt die kanonische Spur auf <math>A</math>. Sie hat zusätzlich folgende Eigenschaften:

<math>\tau</math> ist strikt positiv, das heißt <math>a>0</math> folgt <math>\tau(a)> 0</math>
<math>\tau</math> ist <math>Z</math>-Morphismus, das heißt <math>\tau(za)=z\tau(a)</math> für alle <math>a\in A, z \in Z</math>.
<math>\tau</math> ist eine Kontraktion, das heißt <math>\|\tau(a)\| \le \|a\|</math> für alle <math>a\in A</math>
<math>\tau</math> ist ultraschwach stetig.

Ist umgekehrt <math>A</math> eine Von-Neumann-Algebra mit Zentrum <math>Z</math> und einer strikt positiven Spur <math>\tau:A\rightarrow Z</math>, so ist <math>A</math> endlich. Ist nämlich <math>e_1\sim e_2 \le e_1</math>, so gibt es <math>v\in A</math> mit <math>e_1=v^*v</math> und <math>e_2=vv^*</math>. Daraus folgt <math>e_2-e_1\ge 0</math> und <math>\tau(e_2-e_1) = \tau(vv^*)-\tau(v^*v)=0</math> wegen der Spureigenschaft und dann <math>e_2-e_1=0</math> wegen der strikten Positivität. Daher ist jede Projektion in <math>A</math> endlich, woraus sich die Endlichkeit von <math>A</math> ergibt.

Weitere Charakterisierungen

Typen endlicher Von-Neumann-Algebren

In der Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren sind genau die Typ I_n Algebren mit <math>n < \infty</math> und die Typ II₁ Algebren endlich.

Unitäre Äquivalenz von Projektionen

Zwei Projektionen <math>e_1,e_2</math> einer Von-Neumann-Algebra <math>A</math> heißen unitär äquivalent, wenn es ein unitäres Element <math>u\in A</math> (d. h. <math>1=u^*u = uu^*</math>) gibt mit <math>e_1 = u^*e_2u</math>. Aus der unitären Äquivalenz folgt die gewöhnliche, oben definierte Äquivalenz, denn aus der definierenden Gleichung folgt <math>e_1 = u^*e_2u = (e_2u)^*(e_2u)</math> und <math>(e_2u)(e_2u)^* = e_2uu^*e_2 = e_21e_2=e_2^2 = e_2</math>. Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn Äquivalenz und unitäre Äquivalenz übereinstimmen.<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, 6.9.11.</ref>

Stetigkeit der Involution

Die Involution auf einer Von-Neumann-Algebra ist im Allgemeinen nicht stetig bzgl. der starken Operatortopologie, wie man am Beispiel des unilateralen Shiftoperators <math>s\in L(\ell^2)</math> zeigen kann, denn für alle <math>\xi = (\xi_n)_n \in \ell^2</math> gilt <math>\|{s^n}^*\xi\| = \|(\xi_{n+1}, \xi_{n+2}, \ldots)\| \rightarrow 0</math>, aber <math>\|s^n\xi\| = \|\xi\|</math>, was für von 0 verschiedenes <math>\xi</math> nicht gegen 0 konvergiert. In endlichen Von-Neumann-Algebren kann so etwas nicht passieren.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn die Involution auf allen beschränkten Mengen stark-stetig ist.<ref>Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Korollar 5.4.13</ref>

Einzelnachweise