Gamma-Gamma-Verteilung

Die Gamma-Gamma-Verteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, die in der Bayesschen Statistik und in der Inferenztheorie eine wichtige Rolle spielt, da es sich um eine Mischverteilung handelt.

Definition

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Gamma-Verteilung <math>Gg(\alpha, \beta, \delta)</math> ist bei <math>\alpha, \beta, \delta > 0</math>

<math>f(x) = \frac{\beta^\alpha}{B(\alpha,\delta)} \frac{x^{\delta-1}}{(\beta+x)^{\alpha+\delta}}</math>

wobei <math>B(\alpha, \beta)</math> die Eulersche Betafunktion ist.

Eigenschaften

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert ist

<math>\operatorname{E}(X) = \frac{\delta \beta}{\alpha -1}</math>, für <math>\alpha >1</math>

und die Varianz

<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{\beta^2 \delta (\delta + \alpha -1)}{(\alpha-1)^2 (\alpha-2)}=\operatorname{E}(X)^2 \frac{1+\frac{\alpha-1}{\delta}}{\alpha-2}</math>, für <math>\alpha>2</math>

Modus

Der Modus ist

<math>\operatorname{Mod}(X) = \frac{\beta\ (\delta -1 )}{\alpha + 1 }</math>, für <math>\delta >1</math>

Sonderfall δ=1

Falls δ=1, dann ist die Dichtefunktion

<math>f(x|\delta=1)=\frac{\alpha}{\beta+x} \left(\frac{\beta}{\beta+x}\right)^\alpha</math>

Da <math>G(1,\lambda)=Exp(\lambda)</math> wendet man diesen Sonderfall an der Exponentialverteilung, mit gammaverteiltem <math>G(\alpha, \beta)</math> Parameter <math>\lambda</math>.

Sonderfall β=1: Inverse Betaverteilung

Eine Gamma-Gamma-Verteilung <math>Gg(\alpha, \beta=1, \delta)</math> entspricht einer inversen Betaverteilung <math>\mathcal{InvB}(a=\delta, b=\alpha)</math>

Beziehung zur Gammaverteilung

Ist der zweite Parameter <math>\epsilon</math> der Gammaverteilung <math>G(d,\epsilon)</math> eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung <math>G(a,b)</math> verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung <math>G(a,b,d)</math> verteilt.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Ist der Parameter <math>\lambda</math> der Exponentialverteilung <math>Exp(\lambda)</math> eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung <math>G(a,b)</math> verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung <math>G(a,b,1)</math> verteilt.

Literatur

Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2

Siehe auch

Exponentialverteilung

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Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta }} Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Gamma-Gamma-Verteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

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Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt }} Vorlage:Klappleiste/Ende}}{{#if:Navigationsleiste MUWahrscheinlichkeitsverteilungen‎ |{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Gamma-Gamma-Verteilung |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

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Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart }}

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