Lévy-Verteilung

Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft eines jeweils unendlichen Erwartungswerts.

Definition

Datei:LevyDichteF.svg

Lévy-Dichtefunktionen verschiedener Skalierung und μ=0

Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet

<math> f(x)=\sqrt{\frac{\gamma}{2 \pi}} \cdot \frac{1}{(x-\mu)^{3/2}} \cdot \exp\left(-\frac{\gamma}{2(x-\mu)}\right),\quad x>\mu</math>,

mit den beiden Parametern <math>\gamma >0</math>, <math>\mu \in \mathbb R</math>.

<math>\mu </math> ist ein Lageparameter und definiert die Position auf der <math>x</math>-Achse;
<math>\gamma </math> ist ein Skalenparameter (Stauchung für <math>\gamma<1</math>; Streckung für <math>\gamma>1</math>).

Standard-Lévy-Verteilung

Die Standard-Lévy-Verteilung ist die Lévy-Verteilung mit den Parameterwerten <math>\gamma =1, \mu=0</math>; ihre Dichtefunktion lautet damit:

<math> f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \cdot x^3}} \cdot e^{-\frac{1}{2x}},\quad x>0</math>.

Eigenschaften

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h., sie erfüllt die Bedingung:

<math> (X_1 + X_2 + \dotsb + X_n) \sim n^{1/\alpha}X </math>

(hier mit <math>\alpha=1/2</math>) für alle unabhängigen Standard-Lévy-verteilten Zufallsgrößen <math>X_1, X_2, \ldots, X_n, X </math>. Da die Theorie der <math>\alpha</math>-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Die Verteilungsfunktion <math>F_{\mu, \gamma}</math> der Lévy-Verteilung mit Lageparameter <math>\mu \in \mathbb{R}</math> und Skalenparameter <math>\gamma > 0</math> kann explizit angegeben werden; bezeichne dazu <math>\Phi(z) = \int_{-\infty}^z \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}} \, \mathrm{d}t</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, dann gilt

<math>F_{\mu, \gamma}(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x \leq \mu, \\ 2 \big( 1 - \Phi\big( \sqrt{\frac{\gamma}{x - \mu}} \big) \big) & \text{für } x > \mu. \end{cases}</math>

Sei <math>Z</math> eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, dann folgt die Zufallsvariable

<math>X := \mu + \frac{\gamma}{Z^2}</math>

der Lévy-Verteilung mit Lageparameter <math>\mu \in \mathbb{R}</math> und Skalenparameter <math>\gamma > 0</math>.

Momente

Die Lévy-Verteilung besitzt keinen endlichen Erwartungswert, denn es gilt <math>\operatorname{E}(|X|)=\infty</math>. Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den Verteilungen mit schweren Rändern, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z. B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Anwendung

Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene insbesondere in der Natur beschreiben:

Verlauf von Börsenkursen<ref name="applebaum">Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name: [Internetquelle: archiv-url ungültig Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes.] (PDF; 282 kB) University of Sheffield, , S. 37–53, archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am Vorlage:Cite book/URL; abgerufen am 13. Juni 2014. Vorlage:Cite book/URL Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung2 Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung</ref>
Umpolung des Erdmagnetfeldes<ref>Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name: [Internetquelle: archiv-url ungültig Geomagnetic flip may not be random after all.] In: physicsworld.com. , archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am Vorlage:Cite book/URL; abgerufen am 13. Juni 2014. Vorlage:Cite book/URL Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung2 Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung</ref>
Intervalle zwischen aufeinander folgenden Tönen in Melodien<ref>Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). </ref>
Pfade von Wildtieren bei der Futtersuche<ref>Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). </ref>
Teilchenbewegungen in turbulenten Strömungen<ref>Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). </ref>

Einzelnachweise