Gelfand-Transformation
Die Gelfand-Transformation (nach Israel Gelfand) ist das wichtigste Instrument in der Theorie der kommutativen Banach-Algebren. Sie bildet eine kommutative <math>\mathbb C</math>-Banachalgebra A in eine Algebra stetiger Funktionen ab. Jedem <math>a</math> aus <math>A</math> wird eine stetige Funktion <math>\hat{a} \colon X\to {\mathbb C}</math> zugeordnet, wobei <math>X</math> ein geeigneter lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. Die Zuordnung <math>a\mapsto \hat{a}</math> ist dabei ein stetiger Algebren-Homomorphismus.
Motivation, Gelfand-Raum
Betrachtet man eine kommutative <math>\mathbb C</math>-Banachalgebra <math>A</math> nur als normierten Raum mit Dualraum <math>A'</math> und Bidualraum <math>A = (A')'</math>, so lassen sich die Elemente von <math>A</math> folgendermaßen auf stetige Funktionen abbilden: Man ordne jedem <math>a</math> die Funktion <math>\hat{a} \colon A'\rightarrow{\mathbb C}, \hat{a}(\varphi) := \varphi(a)</math> zu. Dabei handelt es sich um die bekannte isometrische Einbettung von <math>A</math> in den Bidualraum, denn jedes <math>\hat{a}</math> ist ein Element aus <math>A</math>. Jedes <math>\hat{a}</math> ist auch stetig. Dabei erweist sich die Normtopologie als unnötig stark. Aus diesem Grunde betrachtet man auf <math>A'</math> die schwach-*-Topologie, diese ist gerade definiert als die gröbste Topologie, die alle Abbildungen <math>\hat{a}</math> stetig macht.
Wenden wir uns wieder der Algebra <math>A</math> zu, so müssen wir feststellen, dass die Zuordnung <math>a\mapsto\hat{a}</math> kein Homomorphismus ist; sie ist nicht multiplikativ, d. h. es gilt nicht <math>\widehat{ab} = \hat{a}\hat{b}</math>. Dazu müsste nämlich <math>\widehat{ab}(\varphi) = \hat{a}(\varphi)\hat{b}(\varphi)</math> und damit <math>\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)</math> für alle <math>\varphi\in A'</math> gelten, aber ein lineares Funktional ist in der Regel nicht multiplikativ. Diese Beobachtung gibt aber einen Hinweis, wie man einen Homomorphismus der gewünschten Art konstruieren kann. Man verwendet statt ganz <math>A'</math> nur die multiplikativen Funktionale in <math>A'</math>, und genau das ist die Gelfand-Transformation.
Wir setzen daher <math>X_A := \{\varphi\in A'; \varphi\, \text{multiplikativ}, \varphi\not= 0\}</math>. Diese Menge nennt man das Spektrum (Gelfand-Spektrum) von <math>A</math> oder auch den Gelfand-Raum von <math>A</math>. Man beachte, dass der Nullhomomorphismus herausgenommen wurde. Es gibt Banach-Algebren mit leerem Spektrum, z. B. eine Banachalgebra <math>A</math> mit der Nullmultiplikation, d. h. <math>a\cdot b=0</math> für alle <math>a,b\in A</math>. Ist aber <math>X_A \not= \emptyset</math>, so kann man zeigen, dass <math>X_A</math> mit der relativen schwach-*-Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. Nach obigen Ausführungen ist
- <math>\mathcal{G}: A\rightarrow C_0(X_A),\, a\mapsto \hat{a},\, \hat{a}(\varphi) = \varphi(a)</math>
ein stetiger Homomorphismus mit Norm <math>\le 1</math>. <math>C_0(X_A)</math> ist dabei die Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf <math>X_A</math>, die im Unendlichen verschwinden. Dieser Homomorphismus heißt Gelfand-Transformation, <math>\hat{a}</math> nennt man die Gelfand-Transformierte von <math>a</math>.
Beispiel C0(Z)
Sei Z ein lokalkompakter Hausdorffraum und <math>A = C_0(Z)</math>, so ist A bereits eine Algebra von der Art, auf die die Gelfand-Transformation abbildet. Um die Gelfand-Transformation für diesen Fall zu bestimmen, müssen wir uns einen Überblick über die multiplikativen Funktionale auf <math>A</math> verschaffen. Ist <math>z\in Z</math>, so ist die Punktauswertung <math>\delta_z:A\rightarrow {\mathbb C},\, \delta_z(f) := f(z)</math> offenbar ein multiplikatives Funktional, und man kann zeigen, dass dies bereits alle sind, d. h., dass <math>X_A = \{\delta_z; z\in Z\}</math> gilt. Z kann also mittels der Abbildung <math>z\mapsto \delta_z</math> mit <math>X_A</math> identifiziert werden, zumindest als Menge. Man kann zeigen, dass diese Abbildung sogar ein Homöomorphismus ist, so dass man Z und <math>X_A</math> auch als topologische Räume identifizieren kann. In diesem Fall ist also <math>{\mathcal G}:A\rightarrow C_0(X_A) = C_0(Z)</math> nichts weiter als die Identität. Für <math>A=C_0(Z)</math> bietet die Gelfand-Transformation nichts Neues.
Beispiel L1(ℝ)
Der Banachraum <math>A = L^1(\mathbb{R})</math> ist mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine kommutative <math>\mathbb{C}</math>-Banachalgebra. Für <math>f, g \in L^1(\mathbb{R})</math> gilt dabei
- <math>f*g(t) := \int_{-\infty}^\infty f(s)g(t-s)\mathrm{d}s </math>
- <math> \|f\|_1 = \int_{-\infty}^\infty |f(s)|\mathrm{d}s </math>
Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf <math>A</math> aus? Die Punktauswertungen des <math>C_0(Z)</math>-Beispiels kommen nicht in Frage, denn für <math>L^1</math>-Funktionen ist der Funktionswert an einer Stelle gar nicht definiert. Man kann zeigen, dass für <math>z\in {\mathbb R}</math> durch
- <math>\varphi_z(f) := \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-itz}\mathrm{d}t</math>
ein multiplikatives Funktional auf <math>A = L^1(\mathbb{R})</math> erklärt ist, und dass umgekehrt jedes multiplikative Funktional von dieser Form ist. Es gilt also <math>X_A = \{\varphi_z; z\in \mathbb{R}\}</math> und man kann weiter zeigen, dass die Abbildung <math>z\mapsto \varphi_z</math> ein Homöomorphismus von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>X_A</math> ist. Identifiziert man daher <math>{\mathbb R}</math> und <math>X_A</math> mittels dieser Abbildung, so hat die Gelfand-Transformation die Gestalt:
- <math>\mathcal{G}: L^1(\mathbb{R}) \rightarrow C_0(\mathbb{R}),\, f\mapsto\hat{f},\, \hat{f}(z) = \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-itz}\mathrm{d}t</math>.
Die Gelfand-Transformation erweist sich damit als eine Abstraktion der Fourier-Transformation.
Beispiel 'holomorphe Fortsetzung'
Es sei <math>Z</math> die Kreislinie <math>\{z\in \mathbb{C}; |z|=1\}</math>. Dann ist <math>C_0(Z)</math> eine kommutative Banachalgebra mit 1. Sei <math>A</math> die Diskalgebra, das heißt die Unteralgebra aller Funktionen, die eine holomorphe Fortsetzung ins Innere <math>\{z\in \mathbb{C}; |z|<1\}</math> besitzen. Mit ein wenig Funktionentheorie (Maximumprinzip) zeigt man, dass <math>A</math> eine Unter-Banachalgebra von <math>C_0(Z)</math> ist. Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf <math>A</math> aus? Zunächst sind die Punktauswertungen <math>\delta_z, |z|=1</math>, die ja schon multiplikative Funktionale auf <math>C_0(Z)</math> sind, natürlich auch multiplikative Funktionale auf <math>A</math>. Es gibt aber weitere. Da die holomorphe Fortsetzung einer Funktion ins Innere eindeutig ist, sind auch alle Punktauswertungen <math>\delta_z, |z|<1</math>, multiplikative Funktionale auf <math>A</math>. Man zeigt, dass <math>X_A = \{\delta_z; |z| \le 1\}</math> und dass man <math>X_A</math> mittels <math>z\mapsto \delta_z</math> auch topologisch mit der Kreisfläche <math>K = \{z \in \mathbb{C}; |z| \le 1\}</math> identifizieren kann. In diesem Beispiel ist daher
- <math>\mathcal{G} \colon A \rightarrow C_0(K),\, f\mapsto \hat{f},\, \hat{f} = </math> holomorphe Fortsetzung von <math>f</math>,
d. h. die Gelfand-Transformation spielt hier die Rolle eines Fortsetzungsoperators.
Bedeutung
Ist <math>A</math> eine kommutative C*-Algebra, so ist die Gelfand-Transformation der isometrische Isomorphismus aus dem Satz von Gelfand-Neumark für kommutative C*-Algebren. Das ist der Ausgangspunkt der Spektraltheorie.
Das <math>L^1({\mathbb R})</math>-Beispiel verallgemeinert sich auf lokalkompakte, abelsche Gruppen <math>G</math>. Der Gelfand-Raum von <math>L^1(G)</math> wird mit <math>\hat{G}</math> bezeichnet und kann wieder mit einer Gruppenstruktur versehen werden. Man nennt <math>\hat{G}</math> dann die Dualgruppe von <math>G</math>. Das ist ein Ausgangspunkt der abstrakten harmonischen Analyse.
Die Stone-Čech-Kompaktifizierung eines vollständig regulären Hausdorffraums <math>X</math> kann als Anwendung der Gelfand-Transformation auf die kommutative C*-Algebra <math>C_b(X)</math> der stetigen und beschränkten Funktionen auf <math>X</math> erhalten werden.
Der Kern der Gelfand-Transformation ist im Falle einer kommutativen Banachalgebra das Jacobson-Radikal, insbesondere ist das Jacobson-Radikal stets abgeschlossen. Hier zeigt sich wieder, wie algebraische und topologische Begriffe in der Theorie der Banachalgebren ineinandergreifen.
Literatur
- R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
- M. Takesaki: Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)