H-Raum

In der Topologie besteht ein H-Raum aus einem topologischen Raum X (oft als zusammenhängend vorausgesetzt) und einer stetigen Abbildung <math>\mu\colon X\times X\to X</math> mit einer Einheit <math>e\in X</math> in dem Sinne, dass die Endomorphismen

<math>\mu(\cdot, e) \colon X\to X</math> und <math>\mu(e,\cdot) \colon X\to X</math>

homotop zur identischen Abbildung <math>id_X</math> auf <math>X</math> relativ zu <math>e</math> sind.

Es gibt auch Definitionen, in denen stärkere oder schwächere Forderungen an diese Homotopie gestellt werden: Manchmal wird die Homotopie nur relativ <math>e</math>, manchmal sogar relativ <math>X</math> gefordert. Diese drei Varianten sind äquivalent, wenn <math>X</math> CW-Komplex ist.

Der Name H-Raum wurde von Jean-Pierre Serre zu Ehren von Heinz Hopf vorgeschlagen.

Eigenschaften

Die multiplikative Struktur eines H-Raums bereichert die Struktur seiner Homologie und Kohomologie. So ist der Kohomologiering eines wegzusammenhängenden H-Raums mit endlich erzeugten freien Kohomologiegruppen eine Hopf-Algebra. Außerdem kann man auf den Homologiegruppen eines H-Raums das Pontryagin-Produkt erklären.

Die Fundamentalgruppe eines H-Raums ist abelsch: Sei <math>X</math> ein H-Raum mit Einheit <math>e</math>, und seien <math>f</math> und <math>g</math> Schleifen mit Basispunkt <math>e</math>. Dann können wir eine Abbildung <math>F\colon\left [0,1\right]\times\left[0,1\right] \to X</math> durch <math>F(a,b) = f(a)g(b)</math> erklären. Nun ist <math>F(.,0) = F(.,1) = fe</math> homotop zu <math>f</math> und <math>F(0, .) = F(1, .) = eg</math> zu <math>g</math>. Damit entspricht <math>F</math> einer Homotopie von der Verkettung <math>f\cdot g</math> von Schleifen zu <math>g\cdot f</math>.

Beispiele

J. F. Adams hat gezeigt, dass unter den Sphären nur <math>S^0,S^1,S^3</math> und <math>S^7</math> H-Räume sind; die Multiplikation wird jeweils von der Multiplikation auf <math>\mathbb{R}</math>, <math>\Complex</math>, <math>\mathbb{H}</math> (Quaternionen) und <math>\mathbb O</math> (Oktonionen) induziert.

Sei <math>R</math> ein unitärer Ring, <math>GL(R)=\bigcup_{n\ge0}GL(n,R)</math> die Gruppe der invertierbaren Matrizen über <math>R</math> und <math>BGL(R)</math> der klassifizierende Raum von <math>GL(R)</math>. Dann liefert die Plus-Konstruktion einen H-Raum <math>BGL^+(R)</math>. Seine Fundamentalgruppe ist die Abelisierung von <math>GL(R)</math>.

Literatur

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.