Hankel-Transformation
Die Hankel-Transformation ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation, welche im Kern auf den Bessel-Funktionen erster Gattung basiert. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Hermann Hankel. Anwendungen liegen unter anderem im Bereich der Bildverarbeitung zur Korrektur von Abbildungsfehlern.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Definition
Bei der Hankel-Transformation gibt es unterschiedliche Konventionen, sie zu definieren. Sei <math>f</math> eine komplexwertige Funktion und <math>\nu > - \tfrac{1}{2}</math>. Dann kann man die Hankel-Transformation <math>\operatorname{H}_\nu</math> der Ordnung <math>\nu</math> von <math>f</math> durch
- <math> F_\nu(u) = \operatorname{H}_\nu\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) \cdot J_\nu(ut) \cdot t \,\mathrm{d}t</math>
definieren, dabei sind die
- <math>J_\nu(x) := \sum_{r=0}^\infty \frac{(-1)^r (\frac{x}{2})^{2r+\nu}}{\Gamma(\nu+r+1)r!}</math>
Bessel-Funktionen erster Gattung und <math>\Gamma(\cdot)</math> ist die Gammafunktion. Insofern das Integral existiert, nennt man <math>\operatorname{H}_\nu\{f(t)\}</math> die Hankel-Transformierte von <math>f</math>. Diese Konvention der Hankel-Transformation wird überwiegend in diesem Artikel verwendet. In einzelnen Abschnitten wird jedoch die im Folgenden dargestellte Variante verwendet, worauf in den entsprechenden Abschnitten hingewiesen wird.
Eine andere Möglichkeit, die Hankel-Transformation der Ordnung <math>\nu > -\tfrac{1}{2}</math> von <math>f</math> zu definieren, ist
- <math> F_\nu(u) = \operatorname{H}_\nu\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) \cdot \sqrt{ut} \cdot J_\nu(ut) \,\mathrm{d}t\,.</math>
Hier werden mit <math>J_\nu</math> ebenfalls die Bessel-Funktionen erster Gattung bezeichnet und <math>\operatorname{H}_\nu\{f(t)\}</math> heißt auch hier Hankel-Transformierte, insofern das Integral existiert.
Inverse Hankel-Transformation
Ähnlich wie bei der Fourier-Transformation ist es auch bei der Hankel-Transformation unter gewissen Umständen möglich, aus der Hankel-Transformierten ihre Ausgangsfunktion zurückzugewinnen. Ein wichtiges Resultat aus der Theorie der Hankel-Transformation besagt, dass, falls <math>f \in L^1(]0,\infty[)</math> eine Lebesgue-integrierbare Funktion mit beschränkter Variation ist, die Ausgangsfunktion <math>f</math> aus der Hankel-Transformierten <math>F_\nu</math> mit der inversen Integraltransformation
- <math> f(t) = \operatorname{H}^{-1}_\nu\{F_{\nu}(u)\} = \int_0^\infty F_\nu(u) \cdot J_\nu(ut) \cdot u \, \mathrm{d}u</math>
zurückgewonnen werden kann. Die Hankel-Transformation und ihre inverse Transformation sind also gleich. Sie kann daher als involutive Abbildung verstanden werden. Für die alternative Definition gilt diese Aussage analog.
Eigenschaften
Orthogonalität
Die Bessel-Funktionen bilden eine Orthogonalbasis: Es gilt
- <math>\int_0^\infty J_\nu(ut) \cdot J_\nu(u't) \cdot t \, \mathrm{d}t = \frac{\delta (u-u')}{u}</math>
für <math>u</math> und <math>u'</math> größer 0 und mit <math>\delta</math> als der Delta-Distribution.
Algebraisierung des besselschen Differentialoperators
Sei
- <math>B_\nu(f)(r) := \left(r^2 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2} + r \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} + (r^2 - \nu^2)\right)f(r)</math>
der besselsche Differentialoperator. Für die Bessel-Funktionen gilt also <math>B_\nu (J_\nu) = 0</math>. Mit Hilfe der Hankel-Transformation ist es möglich, diesen Differentialoperator in einen Ausdruck ohne Ableitungen zu überführen. Präzise gilt
- <math>\operatorname{H}_\nu(L_\nu(f))(s) = -s^2 \operatorname{H}_\nu(f)(s) \,,</math>
wobei der Operator <math>L_\nu(f) </math> als
- <math>L_\nu(f)(r) = \frac{B_{\nu}(f)(r)}{r^2} - f(r) = \left(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2} + \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} - \nu^2\right)f(r)</math>
definiert wurde. Für <math>\nu = 0 </math> stimmt dieser mit dem Radialantail des zweidimensionalen Laplaceoperators in Polarkoordinaten überein.
Dies ist eine zentrale Eigenschaft der Hankel-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen.<ref name="poularikas9.4">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Beziehung zur Fourier-Transformation
Die Hankel-Transformation hat einige Analogien zur Fourier-Transformation. Insbesondere lässt sich die Hankel-Transformierte durch eine zweidimensionale Fourier-Transformation berechnen. Sei dazu <math>\phi \colon \R^2 \to \Complex</math> eine radialsymmetrische Funktion. Das heißt, die Funktion <math>f(r,\theta) := \phi(r \cos(\theta), r \sin(\theta))</math> ist unabhängig von <math>\theta</math>, weshalb sie im Folgenden nur mit dem Parameter <math>r</math> notiert wird. Von dieser Funktion <math>f</math> wird nun mit Hilfe der Funktion <math>\phi</math> und der Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte beschrieben.
Um dies zu sehen, wird das Fourier-Integral
- <math>
\mathcal{F}(\phi)(\xi_1,\xi_2) = \frac{1}{2 \pi} \int_{\R^2} \phi(x,y) e^{-i(x \xi_1 + y \xi_2)} \, \mathrm{d}(x,y) </math>
von <math>\phi</math> in Polarkoordinaten transformiert, was zu
- <math>\begin{align}
\mathcal{F}(\phi)(s \cos(\sigma),s \sin(\sigma)) =& \frac{1}{2 \pi} \int_{r=0}^\infty r \int_{\theta = 0}^{2\pi} \phi(r \cos(\theta), r \sin(\theta)) e^{-i s r\cos(\theta - \sigma)} \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} r\\ =& \frac{1}{2 \pi} \int_{r=0}^\infty r f(r) \int_{\alpha = 0}^{2\pi} e^{-i s r\cos(\alpha )} \, \mathrm{d} \alpha \, \mathrm{d} r\\ =& \int_{r=0}^\infty r f(r) J_0(s r) \, \mathrm{d} r \end{align}</math>
führt. Dies zeigt, dass eine Fourier-Transformation einer radialsymmetrischen Funktion immer der Hankel-Transformation einer entsprechenden Funktion entspricht. Insbesondere ist es möglich, zu einer gegebenen Funktion <math>f \colon {]0, \infty[} \to \Complex</math> eine entsprechende radialsymmetrische Funktion <math>\phi</math> zu konstruieren, mit der man durch Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte von <math>f</math> berechnen kann.
Hankel-Transformation für Distributionen
Ebenfalls wie bei der Fourier-Transformation ist es bei der Hankel-Transformation auf analoge Weise möglich, sie auf Distributionen zu verallgemeinern. Im Gegensatz zur Fourier-Transformation kann die Hankel-Transformationen nicht auf dem Raum der temperierten Distributionen definiert werden. Daher definiert man einen neuen Raum <math>H_\nu(]0,\infty[)</math> und erklärt die Hankel-Transformation für Distributionen auf seinem Dualraum.
Distributionenraum
Sei <math>\nu \in \R</math>, dann ist <math>H_\nu(]0,\infty[)</math> definiert durch
- <math>H_\nu(]0,\infty[) := \left\{\phi \in C^\infty(]0,\infty[)\left|\forall k,m \in \mathbb{N}_0 : \sup_{x \in {]0,\infty[}} \left|x^m \left(\tfrac{1}{x} \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\right)^k(x^{-\nu-\frac{1}{2}} \phi(x))\right| < \infty \right.\right\} \,.</math>
Auf diesem Vektorraum wird zusätzlich eine Topologie in Form eines Konvergenzbegriffs definiert. Eine Folge <math>(\phi_j) \subset H_\nu(]0,\infty[)</math> konvergiert genau dann gegen Null, wenn
- <math>\lim_{j \to \infty} \sup_{x \in {]0,\infty[}} \left|x^m \left(\tfrac{1}{x} \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\right)^k(x^{-\nu-\frac{1}{2}} \phi_j(x))\right| = 0</math>
für alle <math>k,m \in \N_0</math> gilt. Durch Bilden des topologischen Dualraums erhält man den Distributionenraum <math>H_\nu'(]0,\infty[)</math>, auf dem man die Hankel-Transformation definieren kann. Beispielsweise sind alle Distributionen mit kompaktem Träger in <math>]0,\infty[</math>, wie die Delta-Distribution eine ist, in dem Raum <math>H_\nu'(]0,\infty[)</math> enthalten.
Hankel-Transformation
Für <math>T \in H_\nu'(]0,\infty[)</math> ist die Hankel-Transformation für alle <math>\phi \in H_\nu(]0,\infty[)</math> definiert durch
- <math>\operatorname{H}_\nu(T)(\phi) := T(\operatorname{H}_\nu(\phi))\,.</math>
Der Ausdruck <math>\operatorname{H}_\nu(\phi)</math> ist wieder eine Hankel-Transformation einer Funktion und daher definiert. Aufgrund der Konstruktion des Raums <math>H_\nu(]0,\infty[)</math> wird hier allerdings die Konvention <math>\textstyle \operatorname{H}_\nu(\phi) = \int_0^\infty f(t) \sqrt{ut} J_\nu(ut) \,\mathrm{d}t</math> für die Transformation verwendet.
Wie bei der Fourier-Transformation für Distributionen führt man auch die Hankel-Transformation nicht auf der Distribution selbst aus, sondern sie wird auf der Testfunktion <math>\phi</math> berechnet.
Beispiele
| Signal <math>f(t)\,</math> |
Hankel-Transformierte <math>F_0(u) := \operatorname{H}_0(f)(u)\,</math> |
|---|---|
| <math>1\,</math> | <math>\delta(u)/u\,</math>, gültig für <math>u \neq 0</math> |
| <math>1/t\,</math> | <math>1/u\,</math> |
| <math>t\,</math> | <math>-1/u^3\,</math> |
| <math>t^3\,</math> | <math>9/u^5\,</math> |
| <math>t^{m}\,</math> | <math>\frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{u^{m+2}\Gamma(-m/2)}\,</math>, gültig für ungerades <math>m</math> |
| <math>\frac{1}{\sqrt{t^2+z^2}}\,</math> | z|}}{u}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi u}}K_{-1/2}(u|z|)\,</math> |
| <math>\frac{1}{t^2+z^2}\,</math> | <math>K_0(uz)\,</math>, <math>z \in \Complex</math> |
| <math>e^{\mathrm{i}at}/t\,</math> | <math> \mathrm{i}/\sqrt{ a^2 - u^2} \quad (a>0, u<a) \,</math> <math> 1/\sqrt{ u^2 - a^2} \quad (a>0, u>a) \,</math> |
| <math>e^{-a^2t^2/2}\,</math> | <math>\frac{e^{-u^2/(2a^2)}}{a^2}</math> |
| <math>-t^2 f(t)\,</math> | <math>\frac{d^2 F_\nu}{du^2}+\frac{1}{u}\frac{d F_\nu}{du}</math> |
In diesem Abschnitt wird mit <math>K_n(z)</math> die Bessel-Funktionen zweiter Gattung <math>n</math>-ter Ordnung, mit <math>\Gamma</math> die Gammafunktion, mit <math>\mathrm{i}</math> die imaginäre Einheit und mit <math>\delta</math> wieder die Delta-Distribution bezeichnet. In der Tabelle auf der rechten Seite werden noch zusätzlich einige Paare von Hankel-Transformationen gelistet.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Die Hyperbel 1/t
Für die Hankel-Transformierte nullter Ordnung von <math>\tfrac{1}{t}</math> gilt
- <math>\begin{align}
\operatorname{H}_0\left( \frac{1}{t} \right)(s) =& \int_{0}^\infty t \cdot \frac{1}{t} \cdot J_0(st) \mathrm{d} t\\ =& \int_{0}^\infty J_0(st) \, \mathrm d t\\ =& \frac{1}{s} \end{align}</math>.
Die Funktion <math>\tfrac{1}{t}</math> ist also ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.
Die Gaußsche Glockenkurve
In diesem Abschnitt wird die Berechnung der Hankel-Transformation von der gaußschen Glockenkurve <math>e^{-\frac{x^2}{2}}</math> mit Hilfe der Fourier-Transformation skizziert. Da die Funktion analytisch ist, kann sie auf <math>\Complex \cong \R^2</math> fortgesetzt werden und ist dort sogar radialsymmetrisch. Daher kann die Hankel-Transformierte mit der Fourier-Transformation über <math>\R^2</math> berechnet werden. Für die Fourier-Transformation ist <math>e^{-\frac{x^2}{2}}</math> ein Fixpunkt, woraus folgt, dass die Hankel-Transformierte von <math>e^{-\frac{x^2}{2}}</math> ebenfalls wieder <math>e^{-\frac{x^2}{2}}</math> ist. Also ist die gaußsche Glockenkurve ebenfalls ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.<ref name="poularikas9.4" />
Die Delta-Distribution
In diesem Beispiel wird die Hankel-Transformation nullter Ordnung der Delta-Distribution <math>\delta</math> berechnet. Es gilt
- <math>\begin{align}
\operatorname{H}_0(\tfrac{1}{u} \delta_0)(\phi) =& \operatorname{H}_0(\delta_0)(\tfrac{1}{u} \phi) = \delta_0(\operatorname{H}_0(\tfrac{1}{u} \phi)) = \operatorname{H}_0(\tfrac{1}{u} \phi)(0)\\
=& \int_{0}^\infty \tfrac{u}{u} J_0(0) \phi(u) \, \mathrm{d} u\\
=& \int_0^\infty \phi(u) \, \mathrm{d} u
\end{align}</math>.
Der Ausdruck <math>\textstyle \int_0^\infty \phi(u) \mathrm{d} u</math> ist als Distribution, die von der konstanten Einsfunktion erzeugt wird, zu verstehen. Im Bereich der Physik notiert man die Delta-Distribution oftmals unpräzise als reellwertige Funktion und nicht als Funktional. In diesem Fall kürzt sich die Berechnung der Hankel-Transformation auf
- <math>\operatorname{H}_0(\tfrac{1}{u} \delta_0)(t) = \int_0^\infty \delta(u) \cdot \frac{1}{u} \cdot u \cdot J_0(tu) \, \mathrm{d} u = J_0(0) = 1</math>.
Möchte man umgekehrt die Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion berechnen, stößt man beim Einsetzen in die Integraldarstellung auf ein divergentes Integral. Aufgrund von Dichtheitsargumenten ist es trotzdem möglich, die Delta-Distribution als Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion aufzufassen.
Quellen
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- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
- L. S. Dube, J. N. Pandey: On the Hankel transform of distributions Tohoku Math. J. (2) Volume 27, Number 3 (1975), 337–354.
Einzelnachweise
<references />
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Hankel Transform. In: MathWorld (englisch). {{#if: HankelTransform | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | HankelTransform | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}