Hermitesches Polynom

Plots der ersten fünf Hermiteschen Polynome H_n

Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:

<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2}\,,</math>

bzw. <math>H_n(x) = e^{x^2/2} \, \left(x - \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\right)^n \, e^{-x^2/2}\,.</math>

Die Hermiteschen Polynome (mit einem festen <math>n</math>) sind Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung, einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

<math>H_n(x) - 2\,x\cdot H_n'(x) + 2\,n\cdot H_n(x)=0\qquad (n=0,1,2,\dots).</math>

Explizite Darstellung

Aus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung

also

Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen <math>(n \in \N_0, H_{-1}(x) := 0)</math>:

Da bei jedem Iterationsschritt ein <math>x</math> hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass <math>H_n(x)</math> ein Polynom von Grade <math>n</math> ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz <math>x^n</math> ist <math>2^n</math>. Für gerade <math>n</math> treten ausschließlich gerade Potenzen von <math>x</math> auf, entsprechend für ungerade <math>n</math> nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität

ausdrücken lässt.

Die rekursive Darstellung der o. g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution <math>n'=n+1</math> auch wie folgt schreiben:

<math>H_{n}(x) = 2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=1,2\ldots) </math>

Orthogonalität

Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion <math>e^{-x^2}</math> die Orthogonalitätsrelation

<math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \cdot H_n(x)\cdot H_m(x) \, dx= 2^n \cdot n! \cdot \sqrt{\pi} \cdot \delta_{nm}.</math>

Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.

Erzeugende

Eine erzeugende Funktion für die Hermite-Polynome ist

<math>F(x,t) = e^{2xt - t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}H_n(x)</math> .

Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome

Datei:Mplwp hermiteHe04.svg

Plots der ersten fünf hermiteschen Polynome He_n (Statistiker-Konvention)

Eine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome (Statistiker-Konvention) ist

<math>He_n(x)= 2^{-n/2} H_n(x/\sqrt{2}) = (-1)^n e^{x^2/2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2/2}.</math>

Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion <math>e^{-x^2/2}</math> orthogonal

<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, He_n(x) \, He_m(x) \, dx = \sqrt{2\,\pi} \, n! \, \delta_{mn}</math>

und erfüllen die Differentialgleichung

Sie lassen sich rekursiv durch

bestimmen.

Binomischer Lehrsatz

Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz. Für <math>a^2+b^2=1</math> ist

<math>H_n(ax+by)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}H_k(x)H_{n-k}(y).</math>

Index mit negativem Wert

Die Ableitung der komplementären Fehlerfunktion <math>1 - \operatorname{erf}(x) = \operatorname{erfc}(x)</math> ist

<math> \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\operatorname{erfc}(x)=-\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}</math>.

Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermaßen geschrieben werden:<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Hermite Polynomial. In: MathWorld (englisch). {{#if: HermitePolynomial | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | HermitePolynomial | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref>

<math>H_n(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}(-1)^{(n+1)} e^{x^2} \frac{\mathrm d^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}} \operatorname{erfc}(x)</math>,

sodass man für <math>n= -1</math> findet:

<math>H_{-1}(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{x^2} \operatorname{erfc}(x)</math>.

Die Funktionen höherer Indizes berechnen sich als:

<math>H_{n-1}(x)=\frac{(-1)^{n}}{2^{-n}(-n)!} \frac{\mathrm d^{-n}}{\mathrm{d}x^{-n}} H_{-1}(x)</math> oder rekursiv <math>H_{n-1}(x)= \frac{1}{2n} H_{n}'(x)</math> mit <math>n=(-1,-2,-3,\dotsc)</math>.

Die so erhaltenen Funktionen genügen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung.

Sie lauten:

<math>H_{-1}(x)=\tfrac{1}{2} \sqrt{\pi}e^{x^2} \operatorname{erfc}(x)</math>

<math>H_{-2}(x)=\tfrac{1}{2}(1- x \sqrt{\pi} e^{x^2} \operatorname{erfc}(x))</math>

<math>H_{-3}(x)=\tfrac{1}{8}(-2x +(1+2x^2) \sqrt{\pi}e^{x^2} \operatorname{erfc}(x))</math>

<math>\ldots</math>

Anwendungen

Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.

Eine weitere Anwendung finden sie in der Finite-Elemente-Methode als Formfunktionen.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung lässt sich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, deren Index negative Werte hat.

Siehe auch

Literatur

I.N. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main / Thun 2001, ISBN 3-8171-2005-2
Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions
Murray R. Spiegel: Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. McGraw-Hill

Weblinks

Eric W. Weisstein: Hermite Polynomial. MathWorld.

Einzelnachweise