Kettenkomplex

Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder <math>R</math>-Moduln oder – noch allgemeiner – Objekten in einer abelschen Kategorie, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Definition

Kettenkomplex

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

<math>C_n , \,n \isin \mathbb{Z}</math>

von <math>R</math>-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

<math>d_n \colon C_n \rarr C_{n-1}</math>

von <math>R</math>-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

für alle n gilt. Der Operator <math>\mathrm{d}_n</math> heißt Randoperator. Elemente von <math>C_n</math> heißen n-Ketten. Elemente von

<math>Z_n(C,d):=\ker d_n\subseteq C_n</math> bzw. <math>B_n(C,d):=\mathop{\operatorname{im}} d_{n+1}\subseteq C_n</math>

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung <math>d_n d_{n+1} = 0</math> ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von <math>( C, d)</math>, ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Kokettenkomplex

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

<math>C^n,\, n \isin \mathbb{Z}</math>

von <math>R</math>-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

<math>d^n \colon C^n \rarr C^{n+1}</math>

von <math>R</math>-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

für alle n gilt. Elemente von <math>C^n</math> heißen n-Koketten. Elemente von

<math>Z^n:=\ker d^n\subseteq C^n</math> bzw. <math>B^n:=\operatorname{im} d^{n-1}\subseteq C^n</math>

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung <math>d^n d^{n-1} = 0</math> ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von <math>(C, d)</math>, ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Doppelkomplex

Datei:Double-complex.svg

Ein Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex<ref>S. 7–8 in {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> <math>D_{**}</math> in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht <math>D_{**}</math> aus Objekten

<math> D_{p,q} \in \operatorname{ob} A \,, \quad p,q \in \mathbb{Z}</math>

zusammen mit Morphismen

<math> D_{p,q} \xrightarrow{d} D_{p-1,q} </math> und <math> D_{p,q} \xrightarrow{d'} D_{p,q-1} \quad \forall \, p,q \in \mathbb{Z} </math>

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

Der Totalkomplex <math>\operatorname{Tot}(D)_*</math> des Doppelkomplex <math>D_{**}</math> ist der Kettenkomplex gegeben durch

<math>\operatorname{Tot}(D)_n = \bigoplus_{p+q=n} D_{p,q}</math>

mit der folgenden Randabbildung: für <math>x \in D_{p,q}</math> mit <math>p+q=n</math> ist

<math>d_n(x) = d(x) + d'(x) \in D_{p-1,q} \oplus D_{p,q-1} \subseteq \operatorname{Tot}(D)_{n-1} \, .</math>

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von <math>\operatorname{Tor}^R_*(M,N)</math> nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.<ref>Abschnitt 2.7 in {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Eigenschaften

Ein Kettenkomplex <math>(C_\bullet,d_\bullet)</math> ist genau dann exakt an der Stelle <math>i</math>, wenn <math>H_i(C_\bullet,d_\bullet)=0</math> ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.

Ein Kettenkomplex heißt azyklisch, wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}} Kettenhomomorphismus

Eine Funktion

<math> f \colon (A_\bullet, d_{A,\bullet}) \to (B_\bullet, d_{B,\bullet})</math>

heißt (Ko-)Kettenhomomorphismus, oder einfach nur Kettenabbildung, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen <math>f_n \colon A_n \rightarrow B_n</math> besteht, welche mit dem Randoperator <math>d</math> vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

<math>d_{B,n} \circ f_n = f_{n-1} \circ d_{A,n}</math>.

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

<math>d_B^n\circ f_{n} = f_{n+1} \circ d_A^n</math>.

Diese Bedingung stellt sicher, dass <math>f</math> Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

Euler-Charakteristik

Es sei <math>(C,d)</math> ein Kokettenkomplex aus <math>R</math>-Moduln über einem Ring <math>R</math>. Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

<math>\chi(C,d)=\sum_i(-1)^i\dim_K\mathrm H^i(C,d) \in \Z.</math>

Sind auch die einzelnen Komponenten <math>C^i</math> endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

Im Spezialfall eines Komplexes <math>C^0\to C^1</math> mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Etwas allgemeiner nennt man einen Kettenkomplex perfekt, wenn nur endlich viele Komponenten <math>C^i</math> nichttrivial sind und jede Komponente ein endlich erzeugter projektiver Modul ist. Die Dimension ist dann durch die zugehörige Äquivalenzklasse in der K₀-Gruppe von <math>R</math> zu ersetzen und man definiert als Euler-Charakteristik

<math>\chi(C,d)=\sum_i(-1)^i[C^i] \in K_0(R).</math><ref>J. Cuntz, R. Meyer, J. Rosenberg: Topological and Bivariant K-Theory, Birkhäuser Verlag (2007), ISBN 3-764-38398-4, Definition 1.31 </ref>

Ist jeder projektive Modul frei, etwa wenn <math>R</math> ein Körper oder ein Hauptidealring ist, so kann man von Dimensionen reden und erhält <math>K_0(R)\cong \Z</math> mit <math>[R^n] \,\widehat=\, n</math>. Dann fällt diese allgemeinere Definition mit der zuerst gegebenen zusammen.

Beispiele

Simplizialkomplex
Der singuläre Kettenkomplex zur Definition der singulären Homologie und der singulären Kohomologie topologischer Räume.
Gruppen(ko)homologie.
Jeder Homomorphismus <math>f\colon A\to B</math> definiert einen Kokettenkomplex

<math>(C,d)=(\ldots\to0\to0\to A\to B\to0\to0\to\ldots).</math>

Legt man die Indizes so fest, dass sich <math>A</math> in Grad 0 und <math>B</math> in Grad 1 befindet, so ist

<math>H^0(C,d)=\ker f</math> und <math>H^1(C,d) = \operatorname{coker} f.</math>

Die Euler-Charakteristik

<math>\dim\ker f-\dim\operatorname{coker} f</math>

von <math>(C,d)</math> wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von <math>f</math> genannt. Dabei bezeichnet <math>\operatorname{coker} f</math> den Kokern von <math>f</math>.

Ein elliptischer Komplex oder ein Dirac-Komplex ist ein Kokettenkomplex, der in der Globalen Analysis von Bedeutung ist. Diese treten zum Beispiel im Zusammenhang mit dem Atiyah-Bott-Fixpunktsatz auf.

Literatur

Peter John Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra (Graduate Texts in Mathematics 4). Springer, New York u. a. 1971, ISBN 0-387-90033-0.

Einzelnachweise

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