Normalisator

Der Normalisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.

Definition

Es seien <math>G</math> eine Gruppe und <math>U</math> eine nichtleere Teilmenge von <math>G</math>. Der Normalisator von <math>U</math> in <math>G</math> ist definiert als

<math>N_G(U):= \left\{g \in G \mid gUg^{-1}= U \right\}</math>.

Dabei ist <math>gUg^{-1} = \left\{gug^{-1} \mid u \in U\right\}</math>, entsprechend der Definition des Komplexproduktes.<ref name="meyberg186" /><ref name="robinson" />

Mit anderen Worten: Der Normalisator <math>N_G(U)</math> besteht aus denjenigen <math>g\in G</math>, für die gilt, dass <math>U</math> unter Konjugation mit <math>g</math> invariant ist. (Man sagt, dass diese Elemente <math>U</math> normalisieren.)

Man beachte, dass lediglich gefordert wird, dass <math>U</math> als Ganzes festbleibt, im Allgemeinen gilt also für einzelne Elemente <math>u\in U</math> und <math>g\in N_G(U)</math> durchaus <math>gug^{-1}\ne u</math>; es gilt aber stets <math>gug^{-1}\in U</math>.

Eigenschaften

• Der Normalisator ist eine Untergruppe von <math>G</math>.<ref name="meyberg187" />
• Der Index des Normalisators <math>N_G(U)</math> liefert die Anzahl der unterschiedlichen Konjugierten <math>gUg^{-1}</math> der Menge <math>U</math>, d. h. <math>|\{ gUg^{-1} \mid g \in G \}| =[G : N_G(U) ]</math>.
• Eine Untergruppe <math>U</math> ist stets Normalteiler in ihrem Normalisator <math>N_G(U)</math>.<ref name="meyberg187" /> Genauer: <math>N_G(U)</math> ist die bezüglich Inklusion größte Untergruppe von <math>G</math>, in der <math>U</math> Normalteiler ist.
• Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in <math>G</math>, wenn ihr Normalisator ganz <math>G</math> ist.<ref name="meyberg187" />
• Man kann den Normalisator auch wie folgt einführen:
  Sei <math>G</math> eine Gruppe. Man lasse <math>G</math> auf der Potenzmenge von <math>G</math> durch Konjugation operieren. Dann ist der Stabilisator dieser Operation für eine gegebene Teilmenge von <math>G</math> gerade der Normalisator dieser Teilmenge.

Beispiel

Es sei <math>G</math> die Gruppe der invertierbaren <math>n\times n</math>-Matrizen (mit reellen Einträgen) für eine natürliche Zahl <math>n</math>. Weiter sei <math>U</math> die Untergruppe der Diagonalmatrizen. Dann ist der Normalisator von <math>U</math> in <math>G</math> die Gruppe der Matrizen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag ungleich null ist. Der Quotient <math>N_G(U)/U</math> ist isomorph zur symmetrischen Gruppe <math>S_n</math>.<ref name="Procesi" />

Verwandte Begriffe

Fordert man, dass <math>U</math> elementweise invariant unter der Konjugation mit Gruppenelementen ist, erhält man den stärkeren Begriff des Zentralisators <math>Z_G(U)</math>. Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator.<ref name="robinson" />

Einzelnachweise

<references> <ref name="meyberg186"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="meyberg187"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="robinson"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Procesi"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> </references>