Pascalsche Pyramide
Die Pascalsche Pyramide ist die dreidimensionale Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks. Sie enthält die Multinomialkoeffizienten dritter Ordnung (Trinomialkoeffizient), d. h. die Koeffizienten von <math>(a+b+c)^n </math> stehen auf Ebene n+1. Wie im Pascalschen Dreieck beginnt die Pascalsche Pyramide mit einer einzelnen 1 auf der obersten Ebene (der „Spitze“ der Pyramide). Jede weitere Zahl ist die Summe der drei über ihr stehenden Zahlen. Alle besonderen Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks (siehe z. B. Sierpinski-Dreieck, Symmetrie) lassen sich sinngemäß auch auf die Pascalsche Pyramide anwenden.
Alternative Konstruktion
Die Trinomialkoeffizienten sind gegeben durch
- <math>\frac{(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!\;}</math> mit <math>\;i+j+k=n\,.</math>
Die Identität
- <math>\frac{(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!} = \frac{(i+j+k)!}{(i+j)!\,k!} \cdot \frac{(i+j)!}{i!\, j!}</math>
legt folgende Konstruktionsvorschrift für die (n+1)-te Ebene nahe:
- Bilde zunächst die drei Seiten des Dreiecks. Diese entsprechen der (n+1)-ten Zeile im Pascalschen Dreieck.
- Fülle nun die m-te Zeile mit den Einträgen aus der m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks, multipliziert mit dem an den Seiten bereits eingetragenen Faktor.
Die ersten sieben Ebenen
1. Ebene
1
2. Ebene
1
1 1
3. Ebene
1
2 2
1 2 1
4. Ebene
1
3 3
3 6 3
1 3 3 1
5. Ebene
1
4 4
6 12 6
4 12 12 4
1 4 6 4 1
6. Ebene
1
5 5
10 20 10
10 30 30 10
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1
7. Ebene
1
6 6
15 30 15
20 60 60 20
15 60 90 60 15
6 30 60 60 30 6
1 6 15 20 15 6 1
Eigenschaften
- Die Summe aller Zahlen der Ebene n ist: <math>3^{n-1}</math>
- Die Summe aller Zahlen von der ersten bis zur n-ten Ebene ist: <math>\frac{3^n-1}{2}</math>
Zusammenhang mit dem Sierpinski-Tetraeder
Werden im Pascalschen Tetraeder gerade und ungerade Zahlen unterschieden, ergibt sich ein Zusammenhang mit dem Sierpinski-Tetraeder. Die geraden Zahlen entsprechen dabei den Lücken im Sierpinski-Tetraeder. Dabei müssen <math>2^a</math> Ebenen berücksichtigt werden, um den <math>a</math>-ten Iterationsschritt bei der Konstruktion des Sierpinski-Tetraeders zu erhalten.
Verallgemeinerung
Analog lässt sich das <math>n</math>-dimensionale Pascalsche Simplex aus den weiteren Multinomialkoeffizienten definieren.
Siehe auch
Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Polynom, Binomialkoeffizient
Weblinks
- Pascal’s Simplices. Department of Mathematics, Rutgers University im US-Bundesstaat New Jersey (englisch; abgerufen am 31. Oktober 2010)