Pascalsches Simplex

Die pascalschen Simplizes sind – analog zum pascalschen Dreieck und zum pascalschen Tetraeder – geometrische Darstellungen von Multinomialkoeffizienten. Im pascalschen d-Simplex ist jede Zahl die Summe von d über ihr stehenden Zahlen. Die vom pascalschen Dreieck und Tetraeder bekannten Eigenschaften lassen sich auf pascalsche Simplizes übertragen.<ref>Peter Hilton, Derek Holton, Jean Pedersen: Mathematical Vistas. From a Room with Many Windows. Springer, New York u. a. 2002. ISBN 978-0-387-95064-8. S. 188–190.</ref>

Zum Begriff

Ein pascalsches Simplex lässt sich in jeder Dimension <math>d</math> (<math>d\geq 1</math> natürliche Zahl) vorstellen: Jedem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten lässt sich über diese der Multinomialkoeffizient <math>\binom{n}{k_1,\ldots,k_d}</math> zuordnen (<math>n, k_1,\ldots,k_{d-1}</math> sind die jeweiligen Koordinaten, <math>k_d</math> ergibt sich durch <math>n-k_1-\ldots-k_{d-1}</math>). Die Einhüllende der Punkte, die nicht Null sind, bilden dann ein <math>d</math>-dimensionales, in <math>n</math>-Richtung unbeschränktes „Simplex“ (üblicherweise ist ein Simplex beschränkt).

Eigenschaften

Die <math>n</math>-te Ebene eines pascalschen Simplex (d. h. die nicht verschwindenden Einträge für ein festes <math>n</math>) für <math>n>0</math> lässt sich aus der darüberliegenden Ebene (d. h. für <math>n-1</math>) berechnen: <math>\binom{n}{k_1,\ldots,k_d}=\binom{n-1}{k_1-1,\ldots,k_d}+\binom{n-1}{k_1,k_2-1,\ldots,k_d}+\ldots+\binom{n-1}{k_1,\ldots,k_d-1}</math>. Auf der Ebene <math>0</math> ist der einzige Eintrag eine <math>1</math>, aus dem sich dann rekursiv alle weiteren ergeben.
Die Summe aller Zahlen im n-ten (d-1)-Teilsimplex beträgt <math> d^{n-1} </math>.
Die begrenzenden (d-1)-Simplizes sind gleich dem pascalschen (d-1)-Simplex. Dies lässt sich durch <math>\binom{n}{k_1,...,k_{d-1},0}=\binom{n}{k_1,...,k_{d-1}}</math> ausdrücken.

Einzelnachweise