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Satz von Wolstenholme

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Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:

Ist <math>p \geq 5</math> eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl

<math>H(p-1) = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \ldots + \frac1{p-1}</math>

einen durch <math>p^2</math> teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).<ref name="wolstenholme">J. Wolstenholme: On certain properties of prime numbers. In: The quarterly journal of pure and applied mathematics 5. 1862, S. 35–39 (englisch).</ref><ref>Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 112 (englisch; Theorem 115).</ref>

Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:

  • <math>p=7\text{:}\quad 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac15 + \tfrac16 = \tfrac{49}{20},</math> der Zähler <math>49=1\cdot 7^2</math> ist durch <math>7^2</math> teilbar.
  • <math>p=13\text{:}\quad 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac15 + \tfrac16 + \tfrac17 + \tfrac18 + \tfrac19 + \tfrac1{10} + \tfrac1{11} + \tfrac1{12} = \tfrac{86021}{27720},</math> der Zähler <math>86021=509\cdot 13^2</math> ist durch <math>13^2</math> teilbar.

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

<math>1 + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \ldots + \frac1{(p-1)^2}</math>

durch <math>p</math> teilbar ist.<ref>Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 114 (englisch; Theorem 117).</ref>

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

<math>\binom{2p}{p} \equiv 2 \mod{p^3},</math>

die auch in der Form

<math>\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \mod{p^3}</math>

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:<ref>Anthony Gardiner: Four problems on prime power divisibility. In: The American Mathematical Monthly 95. Dezember 1988, S. 926–931 (englisch).</ref>

  • Der Zähler von
<math>1 + \frac12 + \frac13 + \dots + \frac1{p-1}</math>
ist durch <math>p^3</math> teilbar.
  • Der Zähler von
<math>1 + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \dots + \frac1{(p-1)^2}</math>
ist durch <math>p^2</math> teilbar.
  • Es gilt die Kongruenz
<math>\binom{2p}{p} \equiv 2 \mod{p^4}.</math>
  • Es gilt die Kongruenz
<math>\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \mod{p^4}.</math>
  • Der Zähler der Bernoulli-Zahl <math>B_{p-3}</math> ist durch <math>p</math> teilbar.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964)<ref>J. L. Selfridge, B. W. Pollack: Fermat’s last theorem is true for any exponent up to 25,000. In: Notices of the AMS 11. 1964, S. 97 (englisch; nur Zusammenfassung; 16843 nicht ausdrücklich angegeben).</ref> und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993).<ref>J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä: Irregular primes and cyclotomic invariants to four million. In: Mathematics of Computation 61. Juli 1993, S. 151–153 (englisch).</ref> Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 109 sein.<ref>Richard J. McIntosh, Eric L. Roettger: A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes. (PDF; 151 kB). In: Mathematics of Computation, 76, Oktober 2007, S. 2087–2094 (englisch).</ref> Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa <math>\log(\log(x))</math> unterhalb <math>x</math> (McIntosh 1995).<ref>Richard J. McIntosh: On the converse of Wolstenholme’s theorem. (PDF; 190 kB). In: Acta Arithmetica, 71, 1995, S. 381–389 (englisch).</ref>

Verwandter Begriff

Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe

<math>1 + \frac13 + \frac15 + \dots + \frac1{p-2}</math>

für eine Primzahl <math>p \geq 3</math>, so ist der Zähler genau dann durch <math>p</math> teilbar, wenn die stärkere Form

<math>2^{p-1} \equiv 1 \mod{p^2}</math>

des Satzes von Euler-Fermat gilt.<ref>Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 135 (englisch; Theorem 132).</ref> Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Geschichte

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

<math>\binom{np-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p}</math>

für jede Primzahl <math>p</math> und jede natürliche Zahl <math>n.</math>

Charles Babbage bewies 1819<ref>Charles Babbage: Demonstration of a theorem relating to prime numbers. In: The Edinburgh philosophical journal 1. 1819, S. 46–49 (englisch; „n+1.n+2.n+3...“ bedeutet „(n+1)(n+2)(n+3)…“; die Umkehrung wird auch behauptet: „otherwise it is not“, aber nicht bewiesen und ist falsch für Quadrate von Wolstenholme-Primzahlen).</ref> die Kongruenz

<math>\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}</math>

für jede Primzahl <math>p>2.</math>

Joseph Wolstenholme bewies 1862<ref name="wolstenholme" /> die Kongruenz

<math>\binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}</math>

für jede Primzahl <math>p>3.</math>

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

<references />

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