Wieferich-Primzahl

Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl <math>p</math> mit der Eigenschaft, dass <math>2^{p-1}-1</math> durch <math>p^2</math> teilbar ist.

Alternativ kann man dies auch als Kongruenz schreiben:

<math>2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}.</math>

Solche Primzahlen wurden 1909 von dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich erstmals beschrieben.<ref name="wieferich">Arthur Wieferich: Zum letzten Fermatschen Theorem. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 136, 1909, S. 293–302</ref>

Bekannte Wieferich-Primzahlen

Man kennt bisher nur zwei Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (Waldemar Meißner 1913)<ref>Waldemar Meißner: Über die Teilbarkeit von 2^p−2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093. In: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 10. Juli 1913, S. 663–667</ref> und 3511 (Beeger 1922).<ref>N. G. W. H. Beeger: On a new case of the congruence 2^p−1 ≡ 1 (mod p²). In: Messenger of Mathematics, 51, 1922, S. 149–150 (englisch) {{#if:messengerofmathe5051cambuoft

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  }}</ref> Mit Computerhilfe wurden bis November 2008 alle Zahlen bis 6,7 × 10¹⁵ untersucht, weitere Wieferich-Primzahlen fand man dabei nicht.<ref>François G. Dorais, Dominic W. Klyve: A Wieferich prime search up to 6.7 × 10¹⁵. In: Journal of Integer Sequences, 14, 16. Oktober 2011, Artikel 11.9.2 (englisch)</ref> Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Es besteht sowohl die Vermutung, dass dies nicht der Fall ist,<ref>Wieferich prime. bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)</ref> als auch die gegenteilige, genauer: dass zwischen <math>x</math> und <math>y</math> etwa <math>\log(\log(y)/\log(x))</math> Wieferich-Primzahlen liegen.<ref>Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes. In: Mathematics of Computation, 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)</ref> Es ist sogar noch offen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die keine Wieferich-Primzahlen sind. Joseph Silverman zeigte dies 1988 unter Annahme der abc-Vermutung.<ref>Joseph H. Silverman: Wieferich’s criterion and the abc-conjecture. In: Journal of Number Theory, 30, Oktober 1988, S. 226–237 (englisch)</ref>

Verwandtschaft mit dem großen Fermatschen Satz

Wieferich beschäftigte sich mit dem großen Fermatschen Satz. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den Satz:<ref name="wieferich" />

Wenn <math>x^p+y^p+z^p=0</math>, wobei <math>x,y</math> und <math>z</math> ganze Zahlen sind, <math>p</math> eine Primzahl ist und das Produkt <math>xyz</math> nicht teilbar durch <math>p</math>, dann ist <math>p</math> eine Wieferich-Primzahl, also <math>2^{p-1}-1</math> durch <math>p^2</math> teilbar.

1910 zeigte Dmitry Mirimanoff, dass dann auch <math>3^{p-1}-1</math> durch <math>p^2</math> teilbar ist.<ref>D. Mirimanoff: Sur le dernier théorème de Fermat. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’académie des sciences, 150, 1910, S. 204–206, {{#if:comptesrendusheb150acad

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Aus dem 1995 bewiesenen großen Fermatschen Satz folgt, dass die Voraussetzungen des Satzes von Wieferich nicht erfüllt werden können.

Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen

Aus der Wieferich-Primzahl <math>w</math> kann die Mersenne-Zahl <math>M_n = M_{w-1} = 2^{w-1}-1</math> als Produkt <math>M_{w-1}= kw^2</math> konstruiert werden.

<math>n = w-1</math> ist somit (trivialerweise, da <math>n</math> geradzahlig) nicht prim, und <math>M_n</math> keine Mersenne-Primzahl.

Offen ist die Frage, ob es Mersenne-Zahlen <math>M_p < M_{w-1}</math> (mit primen Exponenten <math>p</math>) gibt, die durch <math>w^2</math> teilbar sind. Dabei muss <math>p</math> ein Teiler von <math>w-1</math> sein, wenn <math>M_p</math> durch <math>w</math> teilbar sein soll.

Dieser Sachverhalt kann mit gruppentheoretischen Begriffen ausgedrückt werden:

Da <math>w-1</math> nicht prim ist, handelt es sich bei <math>2^{w-1}-1</math> nicht um eine mersennesche Zahl. Es müsste also eine mersennesche Zahl <math>2^p-1</math> mit <math>p=\frac{w-1}{x}</math> geben, die durch <math>w^2</math> teilbar ist; d. h., dass die Länge <math>g(w)</math> der multiplikativen zyklischen Subgruppe von <math>w</math> zur Basis 2 prim sein müsste.

Es sind aber empirisch die Gruppenordnungen der einzigen bekannten Wieferichprimzahlen <math>g(1093) = 364 = 4\cdot 7\cdot 13</math> und <math>g(3511)=1755 = 3^3\cdot 5\cdot 13</math> nicht prim.

Dass Mersenne-Zahlen quadratfrei sind, scheint bisher nur ein empirisches Resultat zu sein. Mathworld formuliert bspw. "Alle bekannten Mersenne Zahlen <math>2^p-1</math> sind quadratfrei. Allerdings vermutet GUY (1994), dass es Mersenne-Zahlen gibt, die nicht quadratfrei sind".<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Mersenne Number. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref>

Unterschied zu anderen Basen als 2: für andere Basen als 2 und die entsprechenden Äquivalente zu Mersenne- und Wieferichzahlen trifft dies nicht zu.

Bspw. ist zur Basis 3 mit <math>\frac{3^5-1}{3-1}=11^2</math> die Bedingung <math>w^2</math> teilt <math>3^p-1</math> (mit <math>w,p</math> prim) erfüllt.

Zur Basis 2819 tritt <math>w=19</math> bei <math>2819^3-1 = x\cdot 19^4</math> das Wieferich-analog <math>w=19</math> sogar zur Potenz 4 auf. Die Quadratfreiheit von Mersenne-Zahlen (zur Basis 2) muss demnach eine besondere Eigenschaft der Basis 2 (und möglicherweise weiterer Basen) sein, falls sie generell zutreffen sollte.

Für eine Wieferich-Primzahl <math>p</math> gilt:

<math>2^{p^2} \equiv 2 \pmod{p^2}.</math>

Mit <math>2^n \equiv 1\pmod{p}</math> tritt stets gleichzeitig <math>2^n \equiv 1\pmod{p^2}</math> auf.

Literatur

Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-34283-4 (Springer-Lehrbuch; aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes. Springer, New York 2004)

Weblinks

Wieferich@Home - search for Wieferich prime. (englisch)
{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Wieferich Prime. In: MathWorld (englisch). {{#if: WieferichPrime | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | WieferichPrime | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Wieferich prime. bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)

Einzelnachweise

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