abc-Vermutung

Die abc-Vermutung ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}) ist eine im Jahre 1985 von David Masser und Joseph Oesterlé aufgestellte mathematische Vermutung, die in den letzten Jahren mehr und mehr Aufmerksamkeit auf sich gezogen hat. Es geht dabei um die Abschätzung einer drei teilerfremden natürlichen Zahlen zugeordneten Größe für den Fall, dass eine der drei Zahlen die Summe der beiden anderen ist. Im Wesentlichen besagt die Vermutung von Masser und Oesterlé, dass bei drei „großen“ natürlichen Zahlen, die in der beschriebenen Weise additiv verknüpft sind, nicht alle Primfaktoren „klein“ sein können.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Einer bekannten Heuristik zufolge beruht die abc-Vermutung darauf, dass natürliche Zahlen mit zahlenmäßig vielen mehrfach auftretenden Primfaktoren – sogenannte hochpotente oder auch „reiche“ Zahlen – vergleichsweise selten vorkommen. In Anlehnung an eine Definition von Barry Mazur kann eine natürliche Zahl als multiplikativ hochpotent bezeichnet werden, wenn ihre Binärdarstellung wesentlich länger ist als die Binärdarstellung ihres größten quadratfreien Teilers, also des Produktes aller enthaltenen verschiedenen Primfaktoren. Dann besagt die abc-Vermutung für zwei teilerfremde hochpotente Zahlen <math>n_1</math> und <math>n_2</math>, dass weder ihre Summe <math>n_1+n_2</math> noch ihre Differenz <math>n_1-n_2</math> hochpotent sein kann,<ref>Noam Elkies: The ABC´s of Number Theory (PDF; 417 kB)</ref> eventuell mit Ausnahmen, wenn <math>\max(n_1,n_2)</math> klein ist.

Die Vermutung ist bisher weder bewiesen noch widerlegt. Sie gilt aber wegen ihrer Schwierigkeit und wegen ihrer Bedeutung als prominenter Nachfolger der inzwischen bewiesenen Fermatschen Vermutung. Es ist bereits eine Vielzahl weitreichender zahlentheoretischer Theoreme bekannt, die unter der Voraussetzung der Gültigkeit der abc-Vermutung hergeleitet werden können.<ref>Gerhard Frey: Die ABC-Vermutung. Spektrum d. Wiss. Februar 2009, S. 70–77</ref>

Dorian Goldfeld bezeichnete sie sogar als wichtigstes ungelöstes Problem der diophantischen Analysis.<ref><templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20130628075406

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  }}</ref><ref>Dorian Goldfeld: Beyond the last theorem. In: The Sciences, März–April 1996, Volume 36, S. 34–40. doi:10.1002/j.2326-1951.1996.tb03243.x</ref>

Formulierung

Das Radikal <math>\operatorname{rad}(n)</math> einer positiven ganzen Zahl <math>n</math> ist das Produkt der unterschiedlichen Primfaktoren von <math>n</math>.

Mit anderen Worten: Es ist die Gleichung

<math>\operatorname{rad}(n) =

\prod\limits_{p\;\text{Primzahl und} \atop\;\ p \; \text{Teiler von}\;n} {p} </math>

gegeben.<ref group="H">Primfaktoren, die in der Primfaktorzerlegung von <math>n</math> mehrfach vorkommen, werden bei der Berechnung von <math>\operatorname{rad}(n)</math> also nur einmal berücksichtigt. Beispielsweise ist

<math>\operatorname{rad}(600) = \operatorname{rad}(2^3 \cdot 3 \cdot 5^2) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30</math>.</ref><ref group="H">Erfüllen drei ganze Zahlen <math>a,\, b,\, c</math> die Gleichung <math>\,a+b=c</math> und sind sie teilerfremd, so sind sie aufgrund elementarer Eigenschaften der Teilbarkeitsbeziehung auch paarweise teilerfremd.</ref>

Legt man dies zugrunde, so lautet die abc-Vermutung in ausformulierter Form:

Für jedes reelle <math>\varepsilon > 0</math> existiert eine Konstante <math>K_\varepsilon</math>, so dass für alle Tripel teilerfremder positiver ganzer Zahlen <math>a,\, b,\, c</math> mit <math>\,a+b=c</math> die Ungleichung

erfüllt ist.

Zu beachten ist, dass die Vermutung für <math>\varepsilon > 0</math> formuliert wird, da die entsprechende Aussage mit <math>\varepsilon = 0</math> nachweislich falsch ist.

Man kann die Vermutung auch für Tripel beliebiger (positiver oder negativer) ganzer Zahlen <math>a,\,b,\,c</math> formulieren, die teilerfremd sind und dabei die Gleichung <math>\,a+b+c=0</math> erfüllen, und erhält dann eine verwandte Ungleichung, auf deren linker Seite statt <math>\,c</math> die Zahl <math>\, \max (|a|, |b|, |c|)</math> erscheint.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref group="H">Andere bzw. verwandte Formulierungen der Vermutung werden im weiteren Verlauf dargestellt.</ref>

Über abc-Tripel

Vorliegende Resultate für abc-Tripel

Ein Tripel von Zahlen <math>(a,b,c)</math> heißt abc-Tripel, wenn <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> teilerfremde positive ganze Zahlen sind und <math>c = a + b</math> ist.<ref group="H">Erfüllen drei ganze Zahlen <math>a,\, b,\, c</math> die Gleichung <math>\,a+b=c</math>, so sind <math>a,\, b,\, c</math> teilerfremd genau dann, wenn <math>a,\, b</math> teilerfremd sind. Dies ergibt sich daraus, dass jeder gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math> auch ein Teiler von <math>c</math> ist. Mit anderen Worten: Hinsichtlich der Teilermengen gilt <math>T_{\operatorname{ggT}(a,b)} = T_a \cap T_b = T_a \cap T_b \cap T_c = T_{\operatorname{ggT}(a,b,c)}</math>.</ref>

Gilt für ein abc-Tripel die Ungleichung

<math>\operatorname{rad}(abc) \le c</math>,

so wird es als abc-Treffer bezeichnet. Beispiele sind (1, 8, 9), (5, 27, 32), (32, 49, 81) und das von Éric Reyssat gefundene Tripel <math>(2,\,3^{10}\!\cdot\!109,\,23^5)=(2,\,6436341,\,6436343)</math> mit <math>\operatorname{rad}(abc) = 2\!\cdot\!3\!\cdot\!23\!\cdot\!109 = 15042</math>, für das der Quotient <math> \log c /\!\log \operatorname{rad}(abc) = 1Vorlage:,62991 \ldots</math> besonders groß ist. abc-Treffer sind selten. Unter den 15,2 Millionen abc-Tripeln mit <math>c < 10.000</math> gibt es nur 120 abc-Treffer und unter den 380 Millionen abc-Tripeln mit <math>c < 50.000</math> gibt es 276. Sander Dahmen bewies 2006 eine untere Abschätzung für die Anzahl der abc-Treffer bis zu einer gegebenen Schranke und bestätigte damit, dass unendlich viele existieren,<ref>Sander Roland Dahmen: Lower bounds for numbers of ABC-hits. (PDF; 113 kB) In: Journal Number Theory, 128, 2008, Nr. 6, S. 1864–1873</ref> allerdings sagt seine Formel lediglich etwa eine Million abc-Treffer unterhalb <math>10^{83}</math> vorher (und unterschätzt deren Anzahl damit erheblich).

Das weltweite Projekt ABC@Home (begonnen 2007) erstellte durch verteiltes Rechnen eine vollständige Liste aller abc-Treffer für <math>c < 2^{63} \approx 9Vorlage:,22 \cdot 10^{18}</math>. Es fand 23.827.716 abc-Treffer. Die erste Etappe mit <math>c < 10^{18}</math> wurde im November 2011 mit 14.482.065 Tripeln abgeschlossen, in den Jahren 2012 bis 2015 wurden 9.345.651 weitere abc-Treffer mit <math>10^{18} \le c < 2^{63} \approx 9{,}22 \cdot 10^{18}</math> gefunden.<ref name=":1" /> Das Projekt wurde durch die Programmierung eines Algorithmus möglich, der den Aufwand zur Ermittlung aller abc-Treffer mit <math>c \le N</math> vom offensichtlichen proportional zu <math>N^2</math> auf nahezu proportional zu <math>N^{2\;\!\!/3}</math> Rechenschritte reduzierte.<ref>Willem Jan Palenstijn: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20140203205651

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  }}</ref>

Masser bewies, dass das Verhältnis <math>\tfrac {\operatorname{rad}(abc)}{c}</math> beliebig klein werden kann, obwohl es meist größer als 1 ist.<ref group="H">Ein einfacher Beweis nach Wojtek Jastrzebowski und Dan Spielman findet sich bei Lang, Elemente der Mathematik, Bd. 48, 1993, S. 94. Deren Gegenbeispiel zur abc-Vermutung mit <math>\epsilon = 0</math> ist <math>a = 1,\ b = 3^{2^k}-1,\ c = 3^{2^k}</math>. Man beweist durch Induktion, dass <math>b</math> durch <math>2^k</math> teilbar ist. Das ergibt eine Ungleichung, die nicht für alle k erfüllt sein kann.</ref> Er formulierte allerdings mit Oesterlé eine erweiterte abc-Vermutung, dass <math>\tfrac {(\operatorname{rad}(abc))^{s}}{c}</math> für jedes <math>s > 1</math> eine positive untere Schranke besitzt, sei <math>s</math> auch nur ein beliebig kleines <math>\varepsilon</math> größer als <math>1</math>.

Formel für explizit bestimmbare abc-Treffer mit b = 3^{^42m+27}

Für Zahlen der Form <math>b = 3^{42 m + 27}</math> gibt es <math>n</math> Zahlen <math>a_k = 2^{21 k + 18}</math> mit <math>\,0 \le k < n</math>, die mit <math>b</math> einen abc-Treffer <math>(a_k,\;\! b,\;\!a_k+b)</math> bilden.<ref><templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20140727081744

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            }} 
       }}
  }}</ref>

Damit alle <math>a_0 \ldots a_{n-1} < b</math> sind, wählt man

<math> m > \frac{\ln 2}{2\, \ln 3} (n-1) + \frac{3\, \ln 2}{7\, \ln 3} - \frac{9}{14} = \frac{\ln 2}{2\, \ln 3} n - \frac{1}{14} \Big(9 + \frac{\ln 2}{\ln 3}\Big) \approx 0{,}315465\,n - 0{,}656994</math>,

so dass <math>b > 2^{21(n-1)+18}</math> sichergestellt ist. Für <math>n = 316</math> ergibt dies z. B. <math>m \ge 99</math> (<math>a_{315}=5{,}3\ldots\cdot 10^{1996},\ b=5{,}6\ldots\cdot 10^{1996}</math>).

m	n	<math>a_0=2^{18}</math> ... <math>a_{n-1}=2^{21(n-1)+18}</math>	<math>b=3^{42m+27}</math>
0	2	262.144 549.755.813.888	7.625.597.484.987
1	5	... 1.152.921.504.606.846.976 2.417.851.639.229.258.349.412.352 5.070.602.400.912.917.605.986.812.821.504	834.385.168.331.080.533.771.857.328.695.283
2	8	..., ≈ 1,06 · 10³⁷, ≈ 2,23 · 10⁴³, ≈ 4,68 · 10⁴⁹	≈ 9,14 · 10⁵²
3	11	..., ≈ 9,81 · 10⁵⁵, ≈ 2,06 · 10⁶², ≈ 4,31 · 10⁶⁸	≈ 9,99 · 10⁷²

Die Eigenschaft der Tripel, abc-Treffer zu sein, kann folgendermaßen gezeigt werden. Zunächst ist

<math>\operatorname{rad}(a_k b) = 6</math>, also <math>\,\operatorname{rad}(a_k b\;\! c) = 6\, \operatorname{rad}(c)</math>.

Berechnet man die Kongruenzen <math>c_k = a_k + b \ \equiv\ 2^{21 k + 18} + 3^{42 m + 27} \operatorname{modulo} 49</math>, so erhält man

<math>(2^{21})^k \cdot 2^{18} + (3^{42})^m \cdot 3^{27} \ \equiv\ 1^k \cdot 43 + 1^m \cdot 6 \ \equiv\ 0 \pmod {49}</math>.

Somit ist <math>\,\operatorname{rad}(c_k) \le c_k/7</math> und <math>\,c_k > \operatorname{rad}(a_k b\;\! c_k)</math>.

Weitere Bewertungen eines abc-Treffers

Bereits 1986 zeigten Cameron L. Stewart und Robert Tijdeman, dass die „Qualitäts“-Bewertung der abc-Treffer (mit den Bezeichnungen <math>c = c(a,b,c)</math> und <math>r = \mathrm{rad}(abc)</math>, <math>a < b < c</math>)

für wachsendes <math>r</math> nicht zu schnell gegen 1 konvergieren kann und damit erneut, dass es kein <math>K_\varepsilon</math> für <math>\varepsilon = 0</math> gibt. Sie bewiesen die Existenz von unendlich vielen abc-Tripeln mit

<math>\log\,c - \log\,r > h_1\,\frac{\sqrt{\log\, r}}{\log\,\log\,r}\,</math> für jedes <math>h_1 < 4</math>.

Im Jahre 2000 verschärfte Machiel van Frankenhuysen diese Aussage mit <math>h_1 = 6{,}07 \dots</math><ref>Machiel van Frankenhuysen: A lower bound in the abc conjecture. J. Number Theory 82 (2000), S. 91–95</ref> Das legt nahe zu untersuchen, ob ein gegebenes Tripel mit der Bewertung

die Schranke <math>h_1</math> übersteigt oder nicht, und die Verteilung der gefundenen extremalen Beispiele zu analysieren. Folgende theoretische (heuristische) Überlegungen lassen vermuten, dass diese Bewertung auf der Menge der abc-Treffer unbeschränkt groß werden kann.<ref>Machiel van Frankenhuysen: Hyperbolic spaces and the abc conjecture. Dissertation Nijmegen 1995</ref>

Aus bewiesenen Ergebnissen über die Verteilung der natürlichen Zahlen <math>n</math> mit <math>\operatorname{rad}(n)</math> unterhalb einer gegebenen Schranke und aus (begründeten und vielfach bestätigten, aber unbewiesenen) Annahmen über die Zufälligkeit der Primfaktorzerlegung in unstrukturierten Mengen natürlicher Zahlen konnte van Frankenhuysen die strengere untere Abschätzung mit kleinerem Nenner

<math>\log\,c - \log\,r > h_2\,\sqrt{ \frac{\log\, r}{\log\,\log\,r}}\,\,\,</math> gilt unendlich oft

herleiten. Je nach Ansatz kann man ein <math>h_2 < 4</math> bzw. ein <math>h_2 < 4\, \sqrt{3}</math> wählen, das konnte nicht geklärt werden. Die zweite Variante wurde ebenfalls von C. L. Stewart und G. Tenenbaum gefunden (2007, vgl.<ref>Carl Pomerance: Computational Number Theory (Übersichtsartikel, pdf; 249 kB)</ref>) und mit Olivier Robert 2014 verschärft.<ref>O. Robert, C. L. Stewart, G. Tenenbaum: A refinement of the abc conjecture. (Preprint, pdf; 322 kB)</ref> Eine einfache Umformung lässt daraus die elegante Bewertung „merit“

als quadriertes Analogon zu <math>q_1</math> mit der angestrebten Testgröße <math>h_2^2</math> ansetzen.

Das derzeitige Weltrekord-Tripel bezüglich beider Bewertungen mit <math>q_1 = 12{,}94882\, (> 2\,h_1 !)\,</math> und <math>q_2 = 38{,}66573\,</math> wurde am 28. Oktober 2011 von Ralf Bonse entdeckt<ref>Bart de Smit / ABC triples / by merit</ref> und lautet

<math> a = 2543^4 \cdot 182587 \cdot 2802983 \cdot 85813163</math>, (<math>a</math> ist offensichtlich nicht multiplikativ hochpotent)

<math> b = 2^{15} \cdot 3^{77} \cdot 11 \cdot 173</math>,

<math> c = 5^{56} \cdot 245983</math>.

Von besonderem Interesse sind solche abc-Tripel, die den Abfall der Qualität mit wachsendem Betrag von <math>c</math> nach unten beschränken. Ein abc-Tripel heißt (englisch) „unbeaten“ (dt. sinngemäß „unübertroffen“), wenn jedes bekannte abc-Tripel mit größerem <math>c</math> eine kleinere Qualität aufweist.<ref name=":1">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Bart de Smit - ABC triples|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Bart de Smit - ABC triples}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/abc/index.php?set=1%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Bart de Smit - ABC triples}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/abc/index.php?set=1}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Bart de Smit - ABC triples}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2023-09-13 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Folgerungen und Varianten der abc-Vermutung

Folgerungen aus der abc-Vermutung

Die Vermutung konnte bisher zwar nicht bewiesen werden, zieht allerdings eine Menge interessanter Konsequenzen nach sich. Viele gelöste und ungelöste diophantische Probleme lassen sich aus dieser Vermutung folgern. Insbesondere der sehr komplexe Beweis des Großen Fermatschen Satzes würde sich etwa auf eine Seite reduzieren.<ref group="H">Dies zeigt die Reichweite der abc-Vermutung. Der Große Fermatsche Satz behauptet ja, dass die Gleichung <math>x^n + y^n = z^n</math> keine Lösung in positiven ganzen Zahlen <math>x,y,z</math> (die als relativ prim angenommen werden) im Falle <math>n > 2</math> habe.

Um dies zu mit Hilfe der abc-Vermutung zu beweisen, setzt man in der Ungleichung der abc-Vermutung <math>\,a=x^n, b = y^n, c=z^n</math> ein und benutzt

<math>\operatorname{rad}(x^n y^n z^n) = \operatorname{rad}(xyz) \le xyz < z^3</math>.

Die Ungleichung lautet dann:

<math>z^n \le K_{\varepsilon} (z^3)^{1+\epsilon}</math>.

Ersetzt man in dieser Ungleichung <math>\varepsilon</math> durch <math>\varepsilon/3</math>, dann hat man für <math> n > 3 + \varepsilon</math> eine obere Schranke für z:

<math> z^{n-3-\varepsilon} \le K_{\epsilon/3}</math>

Das heißt: Die Fermat-Gleichung kann nur endlich viele Lösungen haben und ab einem bestimmten Wert des Exponenten <math>n</math>, der nur von <math>K_{\varepsilon/3}</math> abhängt, das durch die abc-Vermutung gegeben wäre, überhaupt keine Lösung mehr, da <math> z > 1</math>. Man braucht "nur" alle Fälle <math>n</math> bis zu dieser Grenze mit anderen Methoden zu überprüfen, um die Fermat-Vermutung zu beweisen.</ref><ref group="H">Für eine große Zahl von Exponenten <math>n</math> war das Zutreffen der Vermutung schon vor dem Beweis von Andrew Wiles bekannt.</ref>

Zu den Sätzen bzw. Vermutungen, die sich neben dem Großen Fermatschen Satz aus einem Beweis der abc-Vermutung ergeben würden, zählen nicht zuletzt:

Satz von Thue-Siegel-Roth, wie Machiel van Frankenhuysen 1999 zeigte.
Vermutung von Mordell<ref group="H">Diese wurde von Gerd Faltings bewiesen und folgt, wie Noam Elkies 1991 zeigte, aus der abc-Vermutung. Die Mordell-Vermutung behauptet die Endlichkeit der Anzahl von Punkten einer algebraischen Kurve vom Geschlecht größer 1 über einem Zahlkörper K.</ref><ref group="H">Aus der abc-Vermutung folgt sogar eine Schranke für die Größe (genauer der sogenannten Höhe) der Punkte auf den Kurven über K (in Abhängigkeit von der in der abc-Vermutung auftretenden Konstante). Die abc-Vermutung liefert also eine effektive Version der Mordellvermutung, im Gegensatz zu den bis heute bekannten Beweisen.</ref><ref>Machiel van Frankenhuysen: The ABC conjecture implies Roth’s theorem and Mordell’s conjecture, Matemática Contemporânea, Band 16, 1999, S. 45–72</ref>
Erdős-Woods-Vermutung (M. Langevin 1993)
Catalansche Vermutung
Fermat-Catalan-Vermutung
die Existenz von unendlich vielen Nicht-Wieferich-Primzahlen. Allgemeiner zeigte Joseph Silverman 1988, dass aus der abc-Vermutung folgt, dass es für <math>a\in \mathbb{Q}^\times</math>, <math>a\neq \pm 1</math>, unendlich viele Primzahlen <math>p</math> gibt, für die <math>a^{p-1} - 1</math> nicht durch <math>p^2</math> teilbar ist.
die schwache Form der Hall-Vermutung, die eine asymptotische untere Schranke für den Betrag der Differenz von Kubikzahlen und Quadratzahlen liefert.
die Vermutung von Lucien Szpiro (eine Ungleichung zwischen Führer und Diskriminante elliptischer Kurven über den rationalen Zahlen). Diese Vermutung ist sogar äquivalent zur abc-Vermutung.<ref>William Stein: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20090217000257

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            }} 
       }}
  }} (englisch)</ref> Genauer handelt es sich um die verallgemeinerte Szpiro-Vermutung (siehe unten).

die Pillai-Vermutung von S. S. Pillai.
eine effektive Form von Siegels Theorem über ganzzahlige Punkte auf algebraischen Kurven.<ref>Vorlage:ArXiv Andrea Surroca, Siegel’s theorem and the abc conjecture, Riv. Mat. Univ. Parma (7) 3, 2004, S. 323–332</ref>

Vermutung von Szpiro

Die Vermutung von Szpiro ist in der Theorie elliptischer Kurven angesiedelt und folgt aus der abc-Vermutung, wie Oesterlé und Nitaj zeigten. Sie lautet:

Für jedes <math>\epsilon >0</math> gibt es eine Konstante <math>C(\epsilon)>0</math> so dass für jede elliptische Kurve mit minimaler Diskriminante <math>\Delta</math> und Führer <math>N</math> gilt:

<math>|\Delta|<C(\epsilon)N^{6+\epsilon}</math>

Die verallgemeinerte Szpiro-Vermutung,<ref>Waldschmidt, Lecture on the abc conjecture and some of its consequences, in: Cartier u. a., Mathematics in the 21st century, Springer 2015, S. 214</ref> die äquivalent zur abc-Vermutung ist, lautet:

Für jedes <math>\epsilon >0</math> und <math>M>0</math> gibt es eine Konstante <math>C(\epsilon, M)>0</math>, so dass für alle ganze Zahlen <math>x,y</math>, für die <math>D=4x^3-27y^2 \neq 0</math> und der größte Primfaktor von <math>x</math>,<math>y</math> kleiner gleich <math>M</math> ist, gilt:

<math>\mathrm{max} (|x^3|, y^2, |D|) <C(\epsilon, M) {\operatorname{rad} (D)}^{6+\epsilon}</math>

Spezielle Formen der abc-Vermutung und schwache abc-Vermutung

Bei der weiteren Aufarbeitung der Vermutung von Masser und Oesterlé ergaben sich verwandte Vermutungen.

Explizite abc-Vermutung von Baker

Im Jahre 1996 schlug Alan Baker eine Verschärfung der Vermutung vor und präzisierte sie 2004.<ref>Alan Baker: Logarithmic forms and the abc-conjecture. In: Györy, Pethö, T. Sos (ed.) Number Theory, Eger 1996., de Gruyter 1998, S. 37–44. Experiments on the abc-conjecture. Publ. Math. Debrecen 65 (2004), S. 253–260</ref> Während <math>r=\operatorname{rad}(abc)</math> die Gesamtgröße der multiplikativen Bausteine der am Tripel beteiligten Zahlen kennzeichnet, ist die Anzahl ihrer verschiedenen Primfaktoren <math>\omega = \mathrm{\omega}(abc)</math> ein Maß für ihre Detailliertheit. Baker vereinigte beide Maße und gelangte zu einer abc-Vermutung mit einer absoluten, von <math>\varepsilon</math> unabhängigen, Konstanten <math>c_0</math>

<math>c < c_0\, (\varepsilon^{-\omega}r)^{1+\varepsilon}</math>.

Wenn man darin berücksichtigt, dass die rechte Seite ein Minimum etwa bei <math>\varepsilon = \tfrac{\omega}{\log\, r}</math> besitzt, und nach der Ersetzung <math>\omega^{\omega}</math> im Nenner nach unten durch <math>\omega!</math> abschätzt, erhält man eine von <math>\varepsilon</math> freie Version

<math>c < c_1\, r\, \frac{(\log\, r)^{\omega}}{\omega!}</math>, <math>\,\, c_1</math> eine absolute Konstante.

Andrew Granville bemerkte, dass der letzte Faktor nahezu äquivalent zu Θ(r) ist, der Anzahl der natürlichen Zahlen bis r, die nur durch Primfaktoren von r teilbar sind. Damit ergibt sich seine Vermutung zu

<math>c < c_2\, r\, \Theta(r)</math>, <math>\,\, c_2</math> eine absolute Konstante.

Eine Untersuchung an den damals 196 bekannten extremalen abc-Tripeln zeigte, dass möglicherweise <math>c_1 = \tfrac{6}{5}</math> und <math>c_2 = 24</math> gewählt werden kann.

So wird heutzutage Bakers explizite abc-Vermutung auch folgendermaßen zitiert:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref>

Ist <math>(a,\, b,\, c)</math> ein Tripel teilerfremder positiver ganzer Zahlen mit <math>\,a+b=c</math> und ist dabei <math>\omega = \omega(abc)</math> die Anzahl der Primfaktoren von deren Produkt sowie <math>r = \operatorname{rad}(abc)</math> das zugehörige Radikal, so ist stets die Ungleichung

<math>c <

\frac{6}{5} \cdot r \cdot \frac{ \ln (r)^{\omega}}{{\omega} !} </math>

erfüllt.

Abschwächungen

Es gibt auch schwächere Formen der abc-Vermutung, die man zu beweisen versucht. Wird in der ursprünglichen Formulierung der abc-Vermutung <math> K_{\epsilon}</math> und <math>\epsilon</math> gleich 1 gesetzt, hat man eine Variante der schwachen abc-Vermutung (mit denselben Voraussetzungen an die abc-Tripel wie oben):

<math> c \leq {(\operatorname{rad}(abc))}^2</math>

Aus dieser Variante folgt sofort (durch eine ähnliche Argumentation wie oben) die Gültigkeit der Fermat-Vermutung für Potenzen größer als fünf.<ref>zum Beispiel Lukas Pottmeyer: Die Dichte quadratfreier Werte ganzzahliger Polynome, Diplomarbeit, Universität Dortmund, 2009, Seite III, PDF-Datei (PDF; 390 kB)</ref> Allgemeiner wird die schwache abc-Vermutung häufig über eine etwas andere Formulierung der abc-Vermutung eingeführt.

Sei <math>q = \tfrac{ \log (c)}{\log (\operatorname{rad}(abc))}</math> die Qualität (auch Potenz, abc-ratio) eines (<math>a, b, c</math>)-Tripels, also die Lösung von <math>r^q = c</math> mit <math>r = \operatorname{rad} (abc)</math> und damit ein Maß des Überschusses von c über den gemeinsamen „Primzahlinhalt“ r des Tripels. Umfangreiche numerische Suche, zum Beispiel in dem ABC@Home-Projekt, hat bisher einen maximalen Wert von etwa <math>1{,}63</math> für q ergeben (gefunden von Eric Reyssat, s. o.). Insgesamt konnten in 34 Jahren lediglich 241 abc-Tripel mit einer Qualität <math> >\!1{,}4</math> entdeckt werden.<ref>Bart de Smit: Update on ABC-triples (auch weiterführende numerische Ergebnisse)</ref> Die eigentliche abc-Vermutung, auch starke abc-Vermutung genannt, besagt dann, dass die Ungleichung <math>q > d</math> für ein beliebiges <math>\,d > 1</math> nur endlich viele Lösungen hat.

Der Wert <math>1</math> ist dabei die bestmögliche untere Grenze für <math>d</math>. Setzt man <math>d = 1</math>, gibt es unendlich viele Lösungen. Aber schon ein beliebig kleiner Wert über 1 bewirkt nach der starken abc-Vermutung, dass die Anzahl der Lösungen endlich ist.

Die schwache abc-Vermutung besagt, dass <math>q</math> eine obere Schranke hat.<ref><templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20091118220740

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  }}</ref> In dem oben angegebenen Spezialfall war die obere Schranke 2 vermutet worden. Aus der starken abc-Vermutung folgt die Gültigkeit der schwachen abc-Vermutung, aber nicht umgekehrt.

In symmetrischer Form lässt sich die Vermutung auch als Aussage des Verhältnisses der Höhe <math>H(a, b, c) = \max(|a|, |b|, |c|)</math>, die die Größe der beteiligten Zahlen misst, zum Radikal <math>\operatorname{rad}(a, b, c)</math> ausdrücken, das den Primzahlinhalt misst. Dann besagt die starke abc-Vermutung, dass <math>a+b=c</math> für jedes <math>\varepsilon > 0</math> nur endlich viele teilerfremde Lösungen <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> hat mit:<ref>Lagarias, Soundararajan: Smooth solutions of the abc conjecture. In: J. Theorie Nombres Bordeaux, Band 23, 2011, S. 209, Vorlage:ArXiv Preprint</ref>

<math>\operatorname{rad}(a,b,c) \leq {H(a,b,c)}^{1-\varepsilon}</math>

Jeffrey Lagarias und Kannan Soundararajan stellten der abc-Vermutung eine „xyz-Vermutung“ zur Seite für den Fall, dass alle Primfaktoren des Radikals <math>\mathrm{rad}(xyz)</math> eines Tripels <math>(x,y,z)</math> durch eine kleine Konstante S (Glattheit, Smoothness) beschränkt sind, das heißt <math>S = \max\lbrace p: p | x,y,z\rbrace</math>. Sie besagt, dass für <math>\alpha > 3/2</math> nur endlich viele abc-Tripel existieren mit <math>\log S /\log \log z \ge \alpha</math>.<ref><templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20151226182041

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            }} 
       }}
  }} (PDF; 237 kB) Preprint 2010.</ref>

B. de Weger ermittelte hierzu in den Ergebnissen des ABC@Home-Projektes dasjenige Tripel mit S = 43 und (vermutlich) größtem z als

<math>13^{11} + 2 \cdot 3^9 \cdot 5 \cdot 23^6 \cdot 29 \cdot 37 = 7^4 \cdot 11 \cdot 17^3 \cdot 19^4 \cdot 43^2.</math><ref>Benne de Weger: Numerical data related to the Lagarias-Soundararajan xyz-conjecture. (PDF; 381 kB) überarbeiteter Preprint 2012.</ref> (mit der Qualität 1,2676)

Conrey, Holmstrom und McLaughlin fanden darin als Tripel mit maximalem Glattheitsindex <math>\log c/\log S</math>

<math>5^3 \cdot 23^3 \cdot 41^5 + 2^{10} \cdot 3^7 \cdot 7^6 \cdot 13^3 \cdot 17^2 \cdot 19 = 11^4 \cdot 31 \cdot 37^4 \cdot 43^3 \cdot 47.</math><ref>J. B. Conrey, M. A. Holmstrom, T. L. McLaughlin: Smooth Neighbors, Experimental Mathematics 22 (2013), S. 195–202</ref> (mit der Qualität 1,1333)

Verallgemeinerung

Die abc-Vermutung lässt sich noch allgemeiner fassen, indem man nicht nur Tripel von ganzen Zahlen, sondern für irgendwelche natürliche Zahlen <math>\,k \geq 3</math> die zugehörigen ganzzahligen <math>\,k</math>-Tupel betrachtet.

Hierzu hat man dann die folgende allgemeine Vermutung:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Zu jeder natürlichen Zahl <math>\,k \geq 3</math> und jeder reellen Zahl <math>\epsilon > 0</math> existiert eine Konstante <math>C = C(k,\epsilon) > 0</math> mit folgender Eigenschaft:

Ist <math>(a_1, a_2, a_3,\ldots, a_k) </math> ein beliebiges <math>\,k</math>-Tupel teilerfremder ganzer Zahlen derart, dass (a) <math>a_1 + a_2 + a_3 +\cdots +a_k = 0</math> und (b) keine Teilsumme davon <math> = 0</math> ist, so ist stets die Ungleichung

<math>\operatorname{max} (|a_1|, |a_2|, |a_3|,\ldots, |a_k|) \leq { C \cdot (\operatorname{rad}(a_1 \, a_2 \, a_3 \, \ldots \, a_k))^{2k-5 + \epsilon} }</math>

erfüllt.

Man bezeichnet diese Verallgemeinerung auch als <math>\,k</math>-abc-Vermutung ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}).

Beweisversuch von Shin’ichi Mochizuki

Im August 2012 veröffentlichte Shin’ichi Mochizuki einen möglichen Beweis,<ref>Mochizuki: Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations, Preprint August 2012, online auf seiner Homepage</ref> der derzeit geprüft wird.<ref>Holger Dambeck: Japaner präsentiert Lösung für Primzahlen-Rätsel, Spiegel Online, 26. September 2012
Philip Ball: Proof claimed for deep connection between prime numbers, Nature News, 10. September 2012
Caroline Chen: The paradox of the proof. (Stand vom 9. Mai 2013)
Peter Woit: Latest on abc. (Stand vom 19. Dezember 2013)</ref> Mochizuki ging von der zur abc-Vermutung äquivalenten Vermutung von Lucien Szpiro über elliptische Kurven aus und wandte umfangreiche, von ihm erst neu entwickelte und bislang nur wenigen bekannte Konzepte und Methoden an. Im März 2015 wurde an seinem Institut in Kyoto ein zwölftägiger Workshop über die Inter-Universale Teichmüller Theory durchgeführt, und das Clay Mathematics Institute führte im Dezember 2015 einen weiteren fünftägigen Workshop durch.<ref>IUT Theory of Shinichi Mochizuki am CMI</ref><ref>Biggest mystery in mathematics in limbo after cryptic meeting. Nature</ref> Der Beweis hat aber auch sechs Jahre nach seiner Veröffentlichung die meisten Spezialisten nicht überzeugt, und die Korrektheit wird von prominenten Mathematikern bezweifelt.<ref>Frank Calegari: The ABC conjecture has (still) not been proved. 17. Dezember 2017</ref> Jakob Stix und Peter Scholze gaben 2018 bekannt, eine fundamentale Lücke im Beweis von Mochizuki ausgemacht zu haben.<ref>Erica Klarreich: Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture. Quanta Magazine, 20. September 2018</ref><ref>Webseite von Mochizuki dazu mit dem Report von Scholze und Stix und Antworten von Mochizuki</ref>

Mochizuki hält weiter an seinem Beweis fest.<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Shinichi Mochizuki|Shinichi Mochizuki: }}{{#if:|{{#if:March 2018 Discussions on IUTeich|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=March 2018 Discussions on IUTeich}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTch-discussions-2018-03.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=March 2018 Discussions on IUTeich}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTch-discussions-2018-03.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=March 2018 Discussions on IUTeich}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2020-04-10 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Die FAZ kommentierte den Vorgang dahingehend, dass die „offizielle Publikation des Beweises“ trotz der nicht ausgeräumten fachlichen Kritik „ein unerhörter Vorgang“ sei und damit „die Gültigkeit eines Stücks [...] bedeutsamer Mathematik nun eine Frage des Dafürhaltens“ sei.<ref name=":0" />

Siehe auch

ABC@Home Projekt für verteiltes Rechnen, in dem der Zahlenraum bis 2⁶³ untersucht wurde.

Literatur

Enrico Bombieri, Walter Gubler: Heights in Diophantine Geometry. Cambridge University Press, 2006, Kapitel 12
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
Gerhard Frey: Die ABC-Vermutung. In: Spektrum der Wissenschaft Dossier: „Die größten Rätsel der Mathematik“. Heft 6/2009, ISBN 978-3-941205-34-5, Seiten 48–55.
Richard Kenneth Guy: Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag, Berlin 2004, ISBN 0-387-20860-7
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
Matthias Mahl: Konstruktion guter ABC-Tripel mit dem LLL-Algorithmus. Grin-Verlag, München 2010, ISBN 3-640-68185-1.
D. W. Masser: Open problems. In: W. W. L. Chen (Hrsg.): Proc. Symp. Analytic Number Theory. Imperial College, London 1985.<ref group="H">Die Vermutung ist dort erstmals formuliert.</ref>
D. W. Masser: Note on a conjecture of Szpiro. In: Astérisque. Band 184, 1990. S. 19.
Joseph Oesterlé: Nouvelles approches du «théorème» de Fermat. Séminaire Bourbaki Nr. 694, 1987/8
C. L. Stewart, R. Tijdeman: On the Oesterlé-Masser Conjecture. Monatshefte für Mathematik 102 (1986), S. 251–257 (Göttinger Digitalisierungszentrum)
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
Rob Tijdeman: Het abc vermoeden, Nieuw Archief voor Wiskunde, Dezember 2015, pdf (PDF)
Michel Waldschmidt: Lecture on the abc conjecture and some of its consequences, in: Pierre Cartier, A. D. R. Choudhary, Michel Waldschmidt (Hrsg.), Mathematics in the 21st century, Springer 2015, S. 211–230

Weblinks

Abderrahmane Nitajs Webseite über die abc-Vermutung
{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: abc Conjecture. In: MathWorld (englisch). {{#if: abcConjecture | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | abcConjecture | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Andrew Granville, Thomas J. Tucker: It’s As Easy As abc. (PDF; 187 kB) Notices AMS, 2002.
ABC at Home-Projekt, das mit Hilfe von verteiltem Rechnen Daten zum besseren Verständnis des Problems sammelt
Serge Lang: Die abc-Vermutung. In: Elemente der Mathematik, Band 48, 1993.
Frits Beukers: Vortragsfolien (PDF; 527 kB; englisch)
Michel Waldschmidt: On the abc conjecture and some of its consequences. Präsentation, 13. Dezember 2024 (englisch, PDF; 5,2 MB)
Marlene Weiß: Mathematiker versuchen seit vier Jahren erfolglos, einen Beweis zu verstehen. In: Süddeutsche Zeitung, 30. August 2016

Einzelnachweise

Hinweise

abc-Vermutung

Formulierung

Über abc-Tripel

Vorliegende Resultate für abc-Tripel

Formel für explizit bestimmbare abc-Treffer mit b = 3^{^42m+27}

Weitere Bewertungen eines abc-Treffers

Folgerungen und Varianten der abc-Vermutung

Folgerungen aus der abc-Vermutung

Vermutung von Szpiro

Spezielle Formen der abc-Vermutung und schwache abc-Vermutung

Explizite abc-Vermutung von Baker

Abschwächungen

Verallgemeinerung

Verwandte Resultate

abc-Vermutung für Polynome

Teilergebnisse

Beweisversuch von Shin’ichi Mochizuki

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

Hinweise

Formulierung

Über abc-Tripel

Vorliegende Resultate für abc-Tripel

Formel für explizit bestimmbare abc-Treffer mit b = 342m+27

Weitere Bewertungen eines abc-Treffers

Folgerungen und Varianten der abc-Vermutung

Folgerungen aus der abc-Vermutung

Vermutung von Szpiro

Spezielle Formen der abc-Vermutung und schwache abc-Vermutung

Explizite abc-Vermutung von Baker

Abschwächungen

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Verwandte Resultate

abc-Vermutung für Polynome

Teilergebnisse

Beweisversuch von Shin’ichi Mochizuki

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

Hinweise

Formel für explizit bestimmbare abc-Treffer mit b = 3^{^42m+27}