Semiprimideal

Ein Semiprimideal ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er stellt eine Erweiterung des Begriffs des Primideals dar.

Definition

Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins. Dann ist ein Ideal Q von R ein Semiprimideal, wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:<ref>Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.6.17 angewandt auf R/Q.</ref>

Ist <math>I \triangleleft R</math> ein Ideal von R mit <math>I^2 \subseteq Q</math>, dann ist <math>I \subseteq Q</math>.
Q ist ein Durchschnitt von Primidealen.

Eigenschaften

Ein Ring R heißt semiprim, wenn <math>\{0\}</math> ein Semiprimideal ist. Dann ist die Abbildung <math>R\rightarrow \prod_P R/P,\, x\mapsto (x+P)_P</math>, wobei das Produkt über alle Primideale gebildet wird, injektiv. Daher ist ein semiprimer Ring subdirektes Produkt primer Ringe, das heißt solcher, in denen das Nullideal prim ist.<ref>Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), § 2.2.</ref>
Ein Durchschnitt von Semiprimidealen ist wieder ein Semiprimideal.
Das Primradikal ist das kleinste Semiprimideal.

Einzelnachweise