sl(2,C)
{{#if: behandelt die Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,C)</math>, zur Gruppe <math>SL(2,C)</math> siehe Spezielle lineare Gruppe.
| Vorlage:Hinweisbaustein | {{#ifeq: 0 | 0 |}}
}} In der Mathematik ist die Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.
Die <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe <math>SL(2,\Complex)</math>. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper <math>\Complex</math> definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra <math>\mathfrak{su}(2)</math> und die Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math>.
Die Gruppe <math>SL(2,\Complex)</math> spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen <math>SO_{0}(3,1)</math> ist.
Kommutator-Relationen
Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum <math>g=\langle \{x,y,h\} \rangle_{\Complex}</math>. Die <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:
- <math>
[x,y]=h, \quad [h,x]=2x, \quad [h,y]=-2y </math>
Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:
- <math>
x= \begin{pmatrix}0&1\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad y=\begin{pmatrix}0&0\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad h=\begin{pmatrix}1&0\\ 0 & -1\end{pmatrix} </math>
Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt
Durch die Definition des Kreuzproduktes in <math>\Complex^3</math> und der folgenden Vektoren
- <math>
x=(1,\mathrm i,0), \quad y=(-1,\mathrm i,0), \quad h=(0,0,2\mathrm i) </math>
ergibt sich die gleiche Algebra:
- <math>
x\times y = h, \quad h \times x = 2x, \quad h \times y = -2y </math>
Eigenschaften
<math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.
Beweis: Sei <math>\mathfrak{a}</math> ein nichttriviales Ideal in <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> und sei <math>ax + bh + cy\in\mathfrak{a}\setminus 0</math> mit <math>a,b,c\in \Complex</math>. Wenn <math>a = c = 0</math>, dann <math>h\in \mathfrak{a}</math>, damit <math>2x = \left[h,x\right]\in\mathfrak{a}</math> und <math> 2y = \left[h,y\right]\in\mathfrak{a}</math>, also <math>\mathfrak{a}=\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>. Also können wir <math>a\not=0</math> oder <math>c\not=0</math> annehmen, o. B. d. A <math>a\not=0</math>. Aus <math>\left[y, \left[y, ax + bh + cy \right]\right] = \left[y, -ah + 2by \right] = -2ay </math> folgt dann <math>y \in\mathfrak{a}</math> und damit auch <math>h=\left[x,y\right]\in\mathfrak{a}</math>, also wieder <math>\mathfrak{a}=\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>.
Struktur der Lie-Algebra sl(2,C)
Killing-Form
Die Killing-Form von <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> lässt sich explizit durch die Formel
- <math>B(v,w)=4\,\operatorname{Spur}(vw)</math>
berechnen, es ist also
- <math>B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8</math>
- <math>B(x,y)=4,\ B(x,h)=B(y,h)=0.</math>
Cartan-Involution
Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe <math>SL(2,\Complex)</math> ist <math>K=SU(2)</math>, ihre Lie-Algebra <math>\mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2)</math> wird von <math>i(x+y),\ x-y</math> und <math>ih</math> aufgespannt.
Eine Cartan-Involution von <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist gegeben durch
- <math>\theta(A)=-\overline{A}^T</math>.
<math>\mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2)</math> ist ihr Eigenraum zum Eigenwert <math>1</math>. Man erhält die Cartan-Zerlegung
- <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}</math>,
wobei <math>\mathfrak{p}=\left\{A\in\mathfrak{sl}(2,\Complex):A=\overline{A}^T\right\}</math> der Eigenraum zum Eigenwert <math>-1</math> ist.
Iwasawa-Zerlegung
Eine Iwasawa-Zerlegung von <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist
- <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n}</math>
mit <math>\mathfrak{k}=\mathfrak{su}(2),\ \mathfrak{a}=\left\{\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}:\lambda\in\R\right\},\ \mathfrak{n}=\left\{\begin{pmatrix}0&n\\ 0&0\end{pmatrix}:n\in\Complex\right\}</math>.
Reelle Formen
Die <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist <math>\mathfrak{su}(2)</math>, ihre spaltbare reelle Form ist <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math>.
Cartan-Unteralgebren
Eine maximale abelsche Unteralgebra ist
- <math>\mathfrak{h}_0=\left\{\begin{pmatrix}\lambda&0\\
0&-\lambda\end{pmatrix}:\lambda\in\Complex\right\}</math>. <math>\mathfrak{h}_0</math> ist eine Cartan-Unteralgebra.
Jede Cartan-Unteralgebra <math>\mathfrak{h}\subset\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math> ist zu <math>\mathfrak{h}_0</math> konjugiert, d. h., sie ist von der Form
- <math>\mathfrak{h}=g\mathfrak{h}_0g^{-1}:=\left\{ghg^{-1}:h\in\mathfrak{h}_0\right\}</math>
für ein <math>g\in SL(2,\Complex)</math>.
Wurzelsystem
Das Wurzelsystem zu <math>\mathfrak{h}_0</math> ist
- <math>R=\left\{\alpha_{12}=\begin{pmatrix}1&0\\
0&-1\end{pmatrix},\ \alpha_{21}=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\right\}</math>. Die dualen Wurzeln sind
- <math>\alpha_{12}^*\begin{pmatrix}\lambda&0\\
0&-\lambda\end{pmatrix}=2\lambda,\ \alpha_{12}^*\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}=-2\lambda</math>. Die zugehörigen Wurzelräume sind
- <math>\mathfrak{g}_{\alpha_{12}}=\Complex\begin{pmatrix}0&1\\
0&0\end{pmatrix},\ \mathfrak{g}_{\alpha_{21}}=\Complex\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}</math>.
Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe <math>S_2</math>.