Eigenraum

Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet die lineare Hülle der Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus. Die Eigenvektoren – zusammen mit dem Nullvektor – spannen damit einen Untervektorraum auf.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum. Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

Definition

Sei <math>V</math> ein Vektorraum über einem Körper <math>K</math> und <math>\varphi \in \operatorname{End}(V)</math> ein Endomorphismus, das heißt eine lineare Abbildung <math>\varphi \colon V \to V</math>. Der Eigenraum <math>E(\lambda)</math> zum Eigenwert <math>\lambda</math> von <math>\varphi</math> ist dann

<math>

\begin{align} E(\lambda)&:=\operatorname{Kern}(\varphi - \lambda \operatorname{id}_V) \\

&=\left\{ v \in V \mid \varphi (v)= \lambda v \right\} \\
&=\left\{ v \in V \mid v \neq 0, \ \varphi(v) = \lambda v \right\} \cup \left\{ 0 \right\}

\end{align} </math> Dabei bezeichnet <math>\operatorname{id}_V</math> die Identitätsabbildung auf <math>V</math>. Mit anderen Worten, <math>E\left(\lambda\right)</math> ist die lineare Hülle der zu <math>\lambda</math> gehörigen Eigenvektoren.

Man sagt dann auch, <math>E\left(\lambda\right)\subseteq V</math> ist invariant bezüglich des Endomorphismus <math>\varphi</math> oder <math>E\left(\lambda\right)</math> ist ein <math>\varphi</math>-invarianter Untervektorraum von <math>V</math>. Die Elemente <math>v </math> von <math>E\left(\lambda\right)</math> sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert <math>\lambda</math> von <math>\varphi</math>, sowie der Nullvektor.

Geometrische Vielfachheit

Die Dimension des Eigenraums <math>E \left (\lambda\right)</math> wird als geometrische Vielfachheit von <math>\lambda</math> bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von <math>\lambda</math>. Wenn die Dimension des Eigenraums <math>E \left (\lambda\right)</math> größer als 1 ist, wird der Eigenwert entartet genannt, anderenfalls heißt er nichtentartet.

Eigenschaften

Existiert ein Eigenwert <math>\lambda=0</math> von <math>\varphi</math>, so ist der zugehörige Eigenraum <math>E\left(\lambda\right)</math> gleich dem Kern von <math>\varphi</math>. Denn <math>\operatorname{Kern}\left(\varphi\right)=\left\{x\in V \mid \varphi\left(x\right)=0\right\}</math> und nach Definition des Eigenraumes: <math>E\left(0\right)=\left\{x\in V \mid \varphi\left(x\right)=0x=0\right\}</math>.

Die Summe von Eigenräumen zu <math>n</math> paarweise verschiedenen Eigenwerten <math>\lambda_1,\dotsc,\lambda_n</math> von <math>\varphi</math> ist direkt:

<math>E(\lambda _1) + \dots +E(\lambda _n) = E(\lambda _1) \oplus \dots \oplus E(\lambda _n)</math>

Gilt im obigen Fall <math>E(\lambda _1) + \dots +E(\lambda _n) = V</math>, so besitzt <math>V</math> eine Basis aus Eigenvektoren von <math>\varphi</math>. In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix <math>A</math> von <math>\varphi\in\operatorname{End}\left(V\right)</math> bezüglich einer Basis von <math>V</math> diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix <math>A'</math> von <math>\varphi</math> bezüglich einer Basis von <math>V</math> aus Eigenvektoren von <math>\varphi</math> hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonale von <math>A'</math> stehen dann die Eigenwerte von <math>\varphi</math>:

<math> A'=

\begin{pmatrix} \lambda _1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}</math>

Ist <math>V</math> ein Prähilbertraum und <math>\varphi \in\operatorname{End}(V)</math> selbstadjungiert, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal.

Literatur

Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, (Studium. Grundkurs Mathematik).