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Soddy-Kreis

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Datei:SoddyKreise.svg

Die Soddy-Kreise sind die Lösungen für einen Spezialfall des apollonischen Problems, wobei die drei gegebenen Kreise, deren Mittelpunkte die Ecken eines Dreiecks sind, einander berühren. Sie sind benannt nach Frederick Soddy, der anhand dieser Kreise den Satz von Descartes wiederentdeckte und am 20. Juni 1936 in der Zeitschrift Nature in Form eines Gedichtes mit dem Titel The kiss precise veröffentlichte.

Definition

Gegeben seien ein Dreieck <math>ABC</math> sowie die drei Kreise mit den Mittelpunkten <math>A</math>, <math>B</math> bzw. <math>C</math>, die jeweils durch die Berührpunkte des Inkreises mit den anliegenden Dreiecksseiten gehen. (Diese drei Kreise berühren einander paarweise.) Die beiden Soddy-Kreise sind nun diejenigen Kreise, welche die genannten drei Kreise berühren. Im Allgemeinen unterscheidet man den inneren und den äußeren Soddy-Kreis.

Eigenschaften

Datei:01 Soddy Kreise.svg
<math>P_a</math> ist der isoperimetrische Punkt und <math>P_i</math> der Punkt des gleichen Umwegs.
  • Nach dem Satz von Descartes gilt für die Krümmung <math>k</math> der beiden Soddy-Kreise:
<math>k = k_1+k_2+k_3\pm2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1}.</math>
Hierbei bezeichnen <math>k_1, k_2, k_3</math> die Krümmungen (= Kehrwerte der Radien) der Kreise um die Eckpunkte A, B und C.
<math>r = \frac{A_\triangle}{4R+r\pm U}.</math>
Dabei bezeichnet <math>A_\triangle</math> den Flächeninhalt von <math>ABC</math>, <math>r</math> den Inkreisradius, <math>R</math> den Umkreisradius und <math>U</math> den Umfang. Das Pluszeichen gilt für den inneren Soddy-Kreis, das Minuszeichen für den äußeren.
  • Der Radius des inneren Soddy-Kreises kann alternativ mit der Formel von W. K. B. Holz berechnet werden.
  • Die Kreise um die Ecken des Dreiecks werden vom äußeren Soddy-Kreis für <math>4 R + r < U</math> einschließend, für <math>4 R + r > U</math> ausschließend berührt. Im Grenzfall (<math>4 R + r = U</math>) ergibt sich ein unendlicher Radius, d. h. aus dem äußeren Soddy-Kreis wird eine gemeinsame Tangente.

Konstruktion

Datei:01 Soddy-Kreise-3-7-10-0.svg
Konstruktion der Soddy-Kreise,<math>k_1=3, k_2=7, k_3=10</math>

Im Folgenden wird als Beispiel eine Lösung beschrieben, in der die Krümmung der Kreise sowohl von <math>k_1, k_2</math> und <math>k_3</math> als auch die der gesuchten Kreise <math>k_4</math> und <math>k_5</math> ganzzahlig ist.<ref name="Jürgen">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die Konstruktion mit Zirkel und Lineal (erstellt in GeoGebra) gelingt auch für beliebige Werte von <math>k_1, k_2</math> und <math>k_3</math>, allerdings hat dann die Krümmung der Kreise <math>k_4</math> und/oder <math>k_5</math> meist einen irrationalen Wert.<ref name="Jürgen" />

Gegeben sei die Krümmung der Kreise <math>k_1=3, k_2=7</math> und <math>k_3=10</math>. Wie in Eigenschaften beschrieben, ergeben sich die Kreisradien aus den Kehrwerten der entsprechenden Krümmung: <math>r_1=\tfrac{1}{3}, r_2=\tfrac{1}{7}</math> und <math>r_3=\tfrac{1}{10}</math>.

Gesucht sind der Soddy-Kreis <math>k_4</math>, der die gegebenen Kreise einschließend berührt sowie der Soddy-Kreis <math>k_5</math>, der diese Kreise ausschließend berührt.

Beispiel

Datei:01 Soddy-Kreise-3-7-10-Animation.gif
Konstruktion der Soddy-Kreise,<math>k_1=3, k_2=7, k_3=10</math>,
als Animation in 11 Bildern, am Ende 15 s Pause

Nach dem Ziehen einer Geraden und dem Bestimmen des Punktes <math>A</math> darauf, wird um diesen Punkt der Kreis <math>k_1</math> mit dem Radius <math>r_1=\tfrac{1}{3}</math> gezogen. Anschließend wird der Punkt <math>B</math> auf der Geraden so platziert, dass der nun folgende Kreis <math>k_2</math> mit Radius <math>r_2=\tfrac{1}{7}</math> den Kreis <math>k_1</math> berührt. Den Mittelpunkt <math>C</math> für den Kreis <math>k_3</math> mit Radius <math>r_3=\tfrac{1}{10}</math> erhält man als Schnittpunkt mithilfe eines Kreises mit Radius <math>r_6=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{10}</math> sowie eines zweiten Kreises mit Radius <math>r_7=\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{10}</math>. Nach dem Einzeichnen des Dreiecks <math>\triangle{ABC}</math> (grün) mit den Seitenlängen <math> a, b, c</math> und des Kreises <math>k_3</math> wird der Mittelpunkt vom Inkreis des Dreiecks anhand der beiden Winkelhalbierenden <math>wh_1</math> und <math>wh_2</math> festgelegt. Jetzt kann der Inkreis mit Radius <math>r</math> (gleich Abstand Mittelpunkt zu Berührpunkt) eingezeichnet werden. Für den Umkreises mit Radius <math>R</math> des Dreiecks <math>\triangle{ABC}</math> wird zuerst dessen Mittelpunkt mittels der beiden Seitenhalbierenden <math>sh_1</math> und <math>sh_2</math> ermittelt.

Es geht weiter mit dem Bestimmen des sogenannten isoperimetrischen Punktes <math>P_a</math>, das ist der Mittelpunkt des äußeren Soddy-Kreises <math>k_4</math>. Die hierfür benötigten Hilfskreise mit den Radien <math>r_8</math> und <math>r_9</math> erhält man mithilfe der in Eigenschaften beschriebenen Formel für <math>r_4</math> nach Subtraktion des Radius <math>r_3</math> bzw. des Radius <math>r_1</math>. Die Werte von <math>A_\triangle (=d1),\; R,\;r,\;a,\;b,\;c</math> werden aus der GeoGebra-Konstruktion entnommen.

<math>r_4 = \frac{A_\triangle}{4R+r-U}=-0{,}5</math>,
<math>r_8 = \frac{A_\triangle}{4R+r-U}-r_3 =-0{,}4</math>,
<math>r_9 = \frac{A_\triangle}{4R+r-U}-r_1=-0{,}1\overline{6}</math>.

Wegen <math>4 R + r < U</math> ergeben sich für <math>r_8,\; r_9</math> und <math>r_4</math> Werte mit Minuszeichen. Für das Einzeichnen der Kreise werden die Minuszeichen bei den Radien weggelassen.

Je eine Gerade, gezogen ab <math>P_a</math> durch die Ecken <math>A, B, C</math> des Dreiecks bis zum betreffenden Kreis, erzeugt die Berührpunkte <math>E, F</math> und <math>G</math>. Mit dem Radius <math>|\overline{P_aE}|=r_4</math>, wird der Soddy-Kreis mit der Krümmung <math>k_4=-2</math> (entspricht <math>\tfrac{1}{r_4}=\tfrac{1}{-0{,}5}</math>) eingezeichnet.

Nun zum zweiten Soddy-Kreis <math>k_4</math> mit dessen Mittelpunkt <math>P_i</math>, dem sogenannten Punkt des gleichen Umwegs. Die hierfür benötigten Hilfskreise mit den Radien <math>r_{10}</math> und <math>r_{11}</math> erhält man mithilfe der in Eigenschaften beschriebenen Formel für <math>r_{5}</math> nach Addition des Radius <math>r_3</math> bzw. des Radius <math>r_1</math>. Die Werte von <math>A_\triangle (=d1),\; R,\;r,\;a,\;b,\;c</math> werden aus der GeoGebra-Konstruktion entnommen.

<math>r_{5} = \frac{A_\triangle}{4R+r+U} =0{,}0\overline{238095} =\frac{1}{42}</math>,
<math>r_{10} = \frac{A_\triangle}{4R+r+U}+r_3=0{,}1\overline{238095} =\frac{13}{105}</math>,
<math>r_{11} = \frac{A_\triangle}{4R+r+U}+r_1=0{,}3\overline{571428} =\frac{5}{14}</math>.

Um die Berührpunkte (ohne Bezeichnung) zu bestimmen, zieht man jeweils eine Gerade ab <math>P_i</math> bis zu den Ecken <math>A, B, C</math> des Dreiecks. Mit dem Radius <math>r_5=0{,}0\overline{238095} =\tfrac{1}{42}</math>, gleich dem Abstand des Punktes <math>P_i</math> bis zu einem Berührpunkt, wird der gesuchte Soddy-Kreis mit der Krümmung <math>k_5=42</math> eingezeichnet.

Weblinks

Einzelnachweise

<references />

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