Sorgenfrey-Ebene
Die Sorgenfrey-Ebene ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.
Definition
Ist <math>R</math> die Sorgenfrey-Gerade, so heißt das kartesische Produkt <math>R^2 = R\times R</math> mit der Produkttopologie die Sorgenfrey-Ebene. Dabei ist die Sorgenfrey-Gerade <math>R</math> derjenige topologische Raum, der auf der Menge <math>\R</math> von allen halboffenen Intervallen <math>[a,b)</math> als Basis erzeugt wird, das heißt die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle <math>[a,b)</math> darstellbaren Mengen.
Die der Sorgenfrey-Ebene zugrundeliegende Menge ist also <math>\R^2</math> und die Topologie der Sorgenfrey-Ebene wird demnach von der Menge aller halboffenen Rechtecke der Form <math>[a,b)\times [c,d)</math> als Basis erzeugt.
Beispiele offener Mengen
Da die Mengen <math>[a,b)</math> in der Sorgenfrey-Geraden offen und abgeschlossen sind, gilt das auch für <math>[a,b)\times [c,d) \subset R^2</math>. Die Sorgenfrey-Ebene besitzt daher eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.
Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Rechteck <math>(a,b)\times(c,d)</math> ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Ebene, denn
<math>(a,b)\times (c,d) = \bigcup_{n=1}^\infty[a+\frac{1}{n},b)\times [c+\frac{1}{n},d)</math>.
Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene ist daher echt feiner als die euklidische Topologie.
Eigenschaften
Die Sorgenfrey-Ebene <math>R^2</math> hat folgende Eigenschaften:
- <math>R^2</math> ist als Produkt eines vollständig regulären Raumes vollständig regulär.
- <math>R^2</math> ist total unzusammenhängend.
- <math>R^2</math> hat die lebesguesche Überdeckungsdimension <math>\infty</math>.<ref>Olga Sipacheva: The Covering Dimension of the Sorgenfrey Plane, Cornell University 2021, arXiv2110.08867.pdf</ref>
- <math>R^2</math> ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf <math>\R^2</math>.
- <math>R^2</math> ist separabel (<math>\Q^2</math> liegt dicht, denn jede Basismenge enthält einen Punkt mit rationalen Koordinaten), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen <math>\textstyle [a,a+\frac{1}{n})\times [b,b+\frac{1}{n})</math> bilden eine Umgebungsbasis von <math>(a,b)\in R^2</math>), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
- <math>R^2</math> ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
- <math>R^2</math> ist kein normaler Raum (siehe unten).
Gegenbeispiele
Die Menge <math>D:=\{(x,-x); x\in R\}\subset R^2</math> trägt als Teilraumtopologie die diskrete Topologie, denn für jeden Punkt <math>(x,-x)\in D</math> gilt <math>\{(x,-x)\} = D\cap [x,x+1)\times [-x,-x+1)</math>, wie nebenstehende Zeichnung verdeutlicht.
Insbesondere ist <math>D</math> mit der Teilraumtopologie nicht separabel. Die Sorgenfrey-Ebene ist daher ein Beispiel dafür, dass sich Separabilität im Allgemeinen nicht auf Teilräume vererbt. Ein weiteres Beispiel für diesen Sachverhalt ist der Niemytzki-Raum.
<math>D</math> als Teilmenge von <math>R^2</math> ist abgeschlossen, da <math>D</math> schon bezüglich der euklidischen Topologie abgeschlossen ist. Wegen der Diskretheit von <math>D</math> ist dann jede Teilmenge von <math>D</math> abgeschlossen in <math>R^2</math>. Setzt man <math>E:=\{(x,-x); x\in \Q\}\subset R^2</math>, so sind <math>E</math> und <math>D\setminus E</math> zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen, die sich nicht durch offene Mengen trennen lassen. <math>R^2</math> ist daher nicht normal. Da die Sorgenfrey-Gerade normal ist, zeigt die Sorgenfrey-Ebene, dass ein Produkt normaler Räume im Allgemeinen nicht normal ist. Da die Sorgenfrey-Gerade sogar parakompakt ist, ist die Sorgenfrey-Ebene auch ein Beispiel dafür, dass Produkte parakompakter Räume im Allgemeinen nicht wieder parakompakt sind.
Literatur
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Einzelnachweise
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