Sorgenfrey-Gerade

Die Sorgenfrey-Gerade ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition

Die Sorgenfrey-Gerade <math>R</math> ist derjenige topologische Raum, der auf der Menge <math>\R</math> von allen halboffenen Intervallen <math>[a,b)</math> als Basis erzeugt wird, das heißt, die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle <math>[a,b)</math> darstellbaren Mengen.

Bemerkungen

Ersetzt man die halboffenen Intervalle <math>[a,b)</math> durch <math>(a,b]</math>, so kann man eine analoge Konstruktion durchführen. Man erhält einen zur Sorgenfrey-Geraden homöomorphen Raum, <math> x\mapsto -x</math> ist offenbar ein Homöomorphismus.
Das Produkt <math>R^2 = R\times R</math> heißt Sorgenfrey-Ebene und ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel in der Topologie.

Beispiele offener Mengen

Alle Mengen der Form

<math>(-\infty,a) = \bigcup_{n=0}^\infty[a-n,a)</math>

<math>[a,\infty) = \bigcup_{n=0}^\infty[a,a+n)</math>

sind offen. Daher sind die Mengen <math>[a,b)</math> nicht nur offen, sondern wegen <math>[a,b) = \R\setminus((-\infty,a)\cup[b,\infty))</math> auch abgeschlossen, das heißt <math>R</math> besitzt eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Intervall <math>(a,b)</math> ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Geraden, denn

<math>(a,b) = \bigcup_{n=1}^\infty \left[a+\frac{1}{n},b \right)</math>.

Eigenschaften

Die Sorgenfrey-Gerade <math>R</math> hat folgende Eigenschaften:

<math>R</math> ist ein perfekt normaler Raum.
<math>R</math> hat die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension 0.
<math>R</math> ist total unzusammenhängend.
<math>R</math> ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Geraden ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf <math>\R</math>.
<math>R</math> ist separabel (<math>\Q</math> liegt dicht, denn jede Basismenge enthält eine rationale Zahl), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen <math>\textstyle \left[a,a+\frac{1}{n}\right)</math> bilden eine Umgebungsbasis von <math>a\in R</math>), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
<math>R</math> ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
<math>R</math> ist parakompakt, aber weder σ-kompakt noch lokalkompakt.

Literatur

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