Topologischer Nullteiler

Ein topologischer Nullteiler ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Unter Ausnutzung der Topologie wird der algebraische Begriff des Nullteilers verallgemeinert.

Definition

Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über dem Körper der komplexen Zahlen. Ein von 0 verschiedenes Element <math>x\in A</math> heißt linker topologischer Nullteiler, falls es eine Folge <math>(x_n)_n</math> in <math>A</math> gibt mit:

<math>\|x_n\|=1</math> für alle <math>n</math>,
<math>x\cdot x_n \xrightarrow{n\to \infty} 0 </math>.

Ein rechter topologischer Nullteiler wird analog definiert, wobei im letzten Punkt natürlich <math>x_n \cdot x \xrightarrow{n\to \infty} 0 </math> zu schreiben ist.

Ein beidseitiger oder zweiseitiger topologischer Nullteiler ist ein linker und gleichzeitig rechter topologischer Nullteiler.<ref>Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14: Topological Divisors of Zero</ref><ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.12</ref>

In kommutativen Banachalgebren fallen diese drei Begriffe zusammen und man spricht einfach von topologischen Nullteilern. Manche Autoren lassen auch 0 als topologischen Nullteiler zu; hier liegt also die gleiche uneinheitliche Situation wie bei den algebraischen Nullteilern vor.

Beispiele

Linke (rechte, zweiseitige) Nullteiler sind linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler; man kann in diesem Fall eine konstante Folge <math>(x_n)_n</math> wählen.

Datei:TopologischerNullteiler.PNG

Skizze zu den verwendeten Funktionen

In der Funktionenalgebra <math>C([0,1])</math> der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall [0,1] mit der Supremumsnorm ist <math>x=\mathrm{id}_{[0,1]}</math> ein topologischer Nullteiler, der kein Nullteiler ist. <math>x</math> ist kein Nullteiler, denn ist <math>xy=0</math>, so muss <math>y(t)=0</math> zunächst für <math>0< t \le 1</math> gelten, da <math>x</math> auf <math>]0,1]</math> nicht 0 ist. Die Stetigkeit von <math>y</math> liefert dann für alle <math>t\in [0,1]</math> die Eigenschaft <math>y(t)=0</math> und damit muss <math>y=0</math> (also die Nullfunktion auf <math>C([0,1])</math>) sein und <math>x</math> ist kein Nullteiler.

Um zu sehen, dass <math>x</math> ein topologischer Nullteiler ist, betrachte die Funktionen

<math>x_n(t)=\begin{cases} 1-nt & \mbox{wenn } 0\le t \le \frac{1}{n} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}</math>

Dann ist <math>\|x_n\|=1</math>, <math>\|x\cdot x_n\| = \frac{1}{4n} \rightarrow 0</math> und damit <math>x</math> als topologischer Nullteiler nachgewiesen.

Ist <math>A</math> eine Banachalgebra mit Einselement 1, <math>x\in A</math> kein Vielfaches des Einselements und <math>\lambda</math> aus dem topologischen Rand des Spektrums von <math>x</math>, so ist <math>x-\lambda\cdot 1</math> ein topologischer Nullteiler. Daraus ergibt sich mit dem Satz von Gelfand-Mazur folgende auf W. Żelasko zurückgehende Aussage: Entweder ist <math>A</math> isomorph zu <math>\Complex</math> oder <math>A</math> hat topologische Nullteiler.<ref>Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.4</ref>

Permanent singuläre Elemente

Ein Element einer Banachalgebra <math>A</math> heißt bekanntlich singulär, wenn es nicht invertierbar ist. Ein Element heißt permanent singulär, falls es keine Banachalgebra <math>\tilde{A}</math> gibt mit <math>A\subset \tilde{A}</math> (bzw. <math>A</math> ist isometrisch in <math>\tilde{A}</math> eingebettet), so dass es in <math>\tilde{A}</math> invertierbar ist. Es gilt folgender von R. Arens bewiesener Satz<ref>Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.7</ref>:

Ein Element einer kommutativen <math>\Complex</math>-Banachalgebra ist genau dann permanent singulär, wenn es ein topologischer Nullteiler ist.

Nullteiler

Man kann jeden topologischen Nullteiler einer Banachalgebra als echten (algebraischen) Nullteiler einer umfassenden Banachalgebra realisieren. Genauer gilt<ref>Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.8</ref>:

Zu jeder Banachalgebra <math>A</math> gibt es eine Banachalgebra <math>\tilde{A}</math>, so dass folgendes gilt:

<math>A</math> ist isometrisch isomorph zu einer Unterbanachalgebra von <math>\tilde{A}</math>.
Jeder linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler von <math>A</math> ist ein linker (rechter, zweiseitiger) Nullteiler in <math>\tilde{A}</math>.

Zur Konstruktion von <math>\tilde{A}</math> sei <math>\overline{A}</math> die Algebra aller beschränkten Folgen in <math>A</math>. Für <math>(x_n)_n \in \overline{A}</math> sei <math>|(x_n)_n|:= \limsup_{n\to \infty}\|x_n\|</math>. Dann ist <math>N:=\{(x_n)_n\in \overline{A};\, |(x_n)_n|=0\}</math> ein Ideal in <math>\overline{A}</math> und der Quotient <math>\tilde{A}=\overline{A}/N</math> ist mit der durch <math>|\cdot |</math> induzierten Quotientennorm eine Banachalgebra. Mittels konstanter Folgen kann man <math>A</math> isometrisch isomorph in <math>\tilde{A}</math> einbetten. Ist nun <math>x\in A</math> ein linker topologischer Nullteiler, so gibt es definitionsgemäß eine Folge <math>(x_n)_n</math> in <math>A</math> mit <math>\limsup_{n\to\infty}\|x\cdot x_n\| = 0</math>. Daher ist <math>x</math>, aufgefasst als Element in <math>\tilde{A}</math>, ein linker Nullteiler.

Einzelnachweise