Torsionstensor
Der Torsionstensor ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialgeometrie. Eingeführt wurde dieses Tensorfeld von Élie Cartan in seinen Studien zur Geometrie und Gravitation.<ref>Elie Cartan: On manifolds with an Affine Connection and the Theory of General Relativity (= Monographs and Textbooks in Physical Science 1). Bibliopolis, Neapol 1986, ISBN 88-7088-086-9 (Engl. transl. of French original 1922/23: Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée). </ref>
Definition
Sei <math>(M,\nabla)</math> eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zusammen mit einem affinen Zusammenhang <math>\nabla</math>. Der Torsionstensor <math>T</math> ist ein Tensorfeld, das durch
- <math>T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]</math>
definiert ist. Dabei sind <math>X,Y \in \Gamma(TM)</math> zwei Vektorfelder und <math>[\cdot,\cdot]</math> stellt die Lie-Klammer dar.<ref>John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 68.</ref>
Lokale Darstellung
Sei <math>e_1, \ldots , e_n</math> ein lokaler Rahmen des Tangentialbündels <math>TM</math>. Das sind Schnitte im Tangentialbündel, die in jedem Tangentialraum eine Vektorraumbasis bilden. Setzt man <math>X := e_i</math>, <math>Y := e_j</math> und <math>\gamma^k_{ij} e_k := [e_i,e_j]</math>, dann gilt für die Komponenten <math>T^k_{ij}</math> des Torsionstensors in lokalen Koordinaten
- <math> T^k{}_{ij} = \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji}-\gamma^k{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.</math>
Dabei bezeichnen die Symbole <math>\Gamma^k_{ij}</math> die Christoffel-Symbole. Da es immer möglich ist, den lokalen Rahmen so zu wählen, dass die Lie-Klammer überall verschwindet, gilt in diesen Koordinaten für die Komponenten des Tensorfelds
- <math> T^k{}_{ij} = \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.</math>
Eigenschaften
- Der Torsionstensor ist ein (2,1)-Tensorfeld, ist also insbesondere <math>C^\infty</math>-linear in seinen drei Argumenten.
- Der Torsionstensor ist schiefsymmetrisch, das heißt, es gilt <math>T(X,Y) = - T(Y,X)</math>.
Symmetrischer Zusammenhang
Ein affiner Zusammenhang <math>\nabla</math> heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, wenn also
- <math>T(X,Y) = 0</math>
oder äquivalent
- <math>\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]</math>
gilt. Der wichtigste symmetrische Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der zusätzlich noch metrisch ist.
Für symmetrische Zusammenhänge kann eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Schwarz für differenzierbare Kurven bewiesen werden. Sei <math>M</math> eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang <math>\nabla</math> und <math>c \colon \left]- \epsilon , \epsilon \right[ \times \left]a,b\right[ \to M</math> eine glatte Homotopie von glatten Kurven, dann gilt
- <math> \nabla_\frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial}{\partial t} c(s,t) = \nabla_\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial}{\partial s} c(s,t)\,.</math>
Einfach ausgedrückt kann im Fall eines symmetrischen Zusammenhangs also die Ableitung nach <math>s</math> mit der nach <math>t</math> vertauscht werden.<ref>John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 97–98.</ref>
Literatur
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Einzelnachweise
<references />