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Punktgruppe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typus einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie, der die Symmetrie eines endlichen Körpers beschreibt. Alle Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus, dass es einen Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird. Aufgrund des Neumannschen Prinzips bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften des Körpers. Weitere Aussagen lassen sich mit Hilfe der Darstellungstheorie gewinnen.

Verwendet werden die Punktgruppen:

Mathematische Grundlagen

Die Symmetrie eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben (Symmetriegruppe). Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei

  • gerade Bewegungen, welche die Orientierung erhalten und
  • ungerade Bewegungen, welche die Orientierung umkehren, z. B. Spiegelungen an Ebenen.

In den Punktgruppen des dreidimensionalen, euklidischen Vektorraums sind Symmetrieoperationen möglich, die mindestens einen Fixpunkt besitzen:

sowie die Kopplung aus Drehung und Punktspiegelung:

Die Translation, die Schraubung und die Gleitspiegelung können nicht Elemente einer Punktgruppe sein, da sie keinen Fixpunkt besitzen.

Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist.

Es gibt

  • kontinuierliche Punktgruppen. Sie werden auch Curie-Gruppen genannt und bestehen aus
    • den Zylindergruppen (mit einer unendlichzähligen Drehachse) und
    • den Kugelgruppen (mit zwei unendlichzähligen Drehachsen);
  • diskrete Punktgruppen. Sie lassen sich einteilen in:
    • diskrete Punktgruppen mit maximal einer Drehachse mit einer Zähligkeit größer zwei. Sie können mit Spiegelebenen und zweizähligen Drehachsen kombiniert sein, dabei gibt es folgende Möglichkeiten:
Gruppe Gruppensymbol (Schönflies) Erläuterung
Drehgruppe Cn Eine n-zählige Drehachse
Cnv 1 Cn-Achse + n Spiegelebenen, die diese Achse enthalten (v: vertikale Spiegelebene)
Cnh 1 Cn-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht zu dieser Achse (h: horizontale Spiegelebene)
Diedergruppe Dn 1 Cn-Achse + n C2-Achsen senkrecht dazu
Dnd 1 Dn-Achse + n Spiegelebenen, die die Dn-Achse und eine Winkelhalbierende der C2-Achsen enthalten (d: diagonale Spiegelebene)
Dnh 1 Dn-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht dazu
Drehspiegelgruppe Sn 1 n-zählige Drehspiegelachse
Für einzelne dieser Gruppen gibt es spezielle Bezeichnungen:
  • <math>C_S \equiv C_{1v} \equiv C_{1h} \equiv S_1</math> (<math>S =</math> Spiegelung)
  • <math>C_i \equiv S_2</math> (<math>i =</math> Inversion, d. h. Punktspiegelung)

Punktgruppen in der Kristallographie

Die vollständige mögliche Symmetrie einer Kristallstruktur wird mit den 230 kristallographischen Raumgruppen beschrieben. Hier kommen zusätzlich zu den Symmetrieoperationen der Punktgruppen auch Translationen in Form von Schraubungen und Gleitspiegelungen als Symmetrieoperationen vor.

Dagegen genügen zur Beschreibung der Symmetrie eines makroskopischen Einkristalls die Punktgruppen, da es sich bei Kristallen stets um konvexe Polyeder handelt und mögliche interne Translationen in der Struktur makroskopisch nicht erkennbar sind. Streicht man also in einer Raumgruppe alle Translationen und ersetzt zusätzlich die Schraubenachsen durch entsprechende Drehachsen sowie die Gleitspiegelebenen durch entsprechende Spiegelebenen, so erhält man die geometrische Kristallklasse oder Punktgruppe des Kristalls.

Als Kristallklassen bzw. kristallographische Punktgruppen kommen daher nur diejenigen dreidimensionalen Punktgruppen in Frage, deren Symmetrien mit einem dreidimensional unendlich ausgedehnten (Kristall-)Gitter vereinbar sind. Dies ist bei den Punktgruppen der Fall, die ausschließlich 1-, 2-, 3-, 4- und/oder 6-zählige Drehachsen (d. h. Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° bzw. 60°) und/oder Drehinversionsachsen (d. h. Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° bzw. 60° mit jeweils daran gekoppelter Punktspiegelung; die 2-zählige Drehinversionsachse 2 führt dabei zum selben Ergebnis wie eine Ebenenspiegelung, weshalb für diese das Symbol m für eine Spiegelebene verwendet wird) enthalten. Folgende 32 Punktgruppen erfüllen die vorgenannten Bedingungen:

Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen)

Holoedrie:
{{#switch:Die Punktgruppe stimmt mit der Punktgruppe des Gitters überein
{{#switch:Aufgrund der Symmetrie erlaubt und vorhanden
Punktgruppe (Kristallklasse)<templatestyles src="FN/styles.css" /> <{{#ifeq: | 0 | span | sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil|anchorencode|1=1|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl|nowiki1|1}}</{{#ifeq: | 0 | span | sup}}>{{#switch:0|10|11=|#default={{#invoke:TemplatePar|match 1=1=+ 2=SUP=n 3=gruppe=* template=Vorlage:FN cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten

}}{{#switch: ERROR

{{#switch: Vorlage:Str match |[|] = ERROR |(Direkteingabe der Klammern)}} {{#switch: Vorlage:Str match |91|93 = ERROR |(HTML-Entität dezimal)}} {{#switch: Vorlage:Str match |5b|5d = ERROR |(HTML-Entität hexadezimal)}} {{#switch: Vorlage:Str match |lbrack|rbrack = ERROR |(benannte HTML-Entität)}}

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Laue­gruppe Kri­stall­sys­tem Kri­stall­fa­mi­lie Zuge­hörige Raum­gruppen (Nr.) Physikalische Eigenschaften<templatestyles src="FN/styles.css" /> <{{#ifeq: | 0 | span | sup}} class="fussnoten-marke" data-annotationpair-m="{{#invoke:URLutil|anchorencode|1=2|2=1}}">{{#invoke:TemplUtl|nowiki1|2}}</{{#ifeq: | 0 | span | sup}}>{{#switch:0|10|11=|#default={{#invoke:TemplatePar|match 1=1=+ 2=SUP=n 3=gruppe=* template=Vorlage:FN cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Fußnoten

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Beispiele
Nr. Name Symbol En­an­tio­mor­phie Op­ti­sche Ak­ti­vi­tät Py­ro­elekt­ri­zität Pi­ezo­elekt­ri­zität; SHG-Effekt
Schoen­flies Hermann-Mauguin
Lang Kurz
1 trik­lin-pe­di­al C1 1 1 tri­klin Vorlage:Raumgruppe (1) + + [uvw] + Abelsonit
Axinit
2 tr­iklin-pi­na­ko­idal Ci (S2) 1 Vorlage:Raumgruppe (2) – – – – Albit
Anorthit
3 monoklin-sphenoidisch C2 121 2 2/m mo­no­klin Vorlage:Raumgruppe (3), Vorlage:Raumgruppe (4), Vorlage:Raumgruppe (5) + + [010] + Uranophan
Halotrichit
112 [001]
4 mo­no­klin-do­ma­tisch Cs (C1h) 1m1 m  Vorlage:Raumgruppe (6), Vorlage:Raumgruppe (7), Vorlage:Raumgruppe (8), Vorlage:Raumgruppe (9)  –  + [u0w]  +  Soda
Skolezit
11m [uv0]
5 mo­no­klin-pris­ma­tisch C2h 12/m1 2/m Vorlage:Raumgruppe (10), Vorlage:Raumgruppe (11), Vorlage:Raumgruppe (12), Vorlage:Raumgruppe (13), Vorlage:Raumgruppe (14), Vorlage:Raumgruppe (15)  –  –  –  – Gips
Kryolith
112/m
6 orthorhombisch-disphenoidisch D2 (V) 222 mmm or­tho­rhom­bisch Vorlage:Raumgruppe (16), Vorlage:Raumgruppe (17), Vorlage:Raumgruppe (18), Vorlage:Raumgruppe (19), Vorlage:Raumgruppe (20), Vorlage:Raumgruppe (21), Vorlage:Raumgruppe (22), Vorlage:Raumgruppe (23), Vorlage:Raumgruppe (24)  +  +  –  + Austinit
Epsomit
7 orthorhombisch-pyramidal C2v mm2 Vorlage:Raumgruppe (25), Vorlage:Raumgruppe (26), Vorlage:Raumgruppe (27), Vorlage:Raumgruppe (28), Vorlage:Raumgruppe (29), Vorlage:Raumgruppe (30), Vorlage:Raumgruppe (31), Vorlage:Raumgruppe (32), Vorlage:Raumgruppe (33), Vorlage:Raumgruppe (34), Vorlage:Raumgruppe (35), Vorlage:Raumgruppe (36), Vorlage:Raumgruppe (37), Vorlage:Raumgruppe (38), Vorlage:Raumgruppe (39), Vorlage:Raumgruppe (40), Vorlage:Raumgruppe (41), Vorlage:Raumgruppe (42), Vorlage:Raumgruppe (43), Vorlage:Raumgruppe (44), Vorlage:Raumgruppe (45), Vorlage:Raumgruppe (46)  –  +  [001]  + Hemimorphit
Struvit
8 orthorhombisch-dipyramidal D2h (Vh) 2/m2/m2/m mmm Vorlage:Raumgruppe (47), Vorlage:Raumgruppe (48), Vorlage:Raumgruppe (49), Vorlage:Raumgruppe (50), Vorlage:Raumgruppe (51), Vorlage:Raumgruppe (52), Vorlage:Raumgruppe (53), Vorlage:Raumgruppe (54), Vorlage:Raumgruppe (55), Vorlage:Raumgruppe (56), Vorlage:Raumgruppe (57), Vorlage:Raumgruppe (58), Vorlage:Raumgruppe (59), Vorlage:Raumgruppe (60), Vorlage:Raumgruppe (61), Vorlage:Raumgruppe (62), Vorlage:Raumgruppe (63), Vorlage:Raumgruppe (64), Vorlage:Raumgruppe (65), Vorlage:Raumgruppe (66), Vorlage:Raumgruppe (67), Vorlage:Raumgruppe (68), Vorlage:Raumgruppe (69), Vorlage:Raumgruppe (70), Vorlage:Raumgruppe (71), Vorlage:Raumgruppe (72), Vorlage:Raumgruppe (73), Vorlage:Raumgruppe (74)  –  –  –  – Topas
Anhydrit
9 tetragonal-pyramidal C4 4 4/m te­tra­go­nal Vorlage:Raumgruppe (75), Vorlage:Raumgruppe (76), Vorlage:Raumgruppe (77), Vorlage:Raumgruppe (78), Vorlage:Raumgruppe (79), Vorlage:Raumgruppe (80)  +  +  [001]  + Piypit
Pinnoit
10 tetragonal-disphenoidisch S4 4 Vorlage:Raumgruppe (82), Vorlage:Raumgruppe (82)  –  +  –  + Schreibersit
Cahnit
11 tetragonal-dipyramidal C4h 4/m Vorlage:Raumgruppe (83), Vorlage:Raumgruppe (84), Vorlage:Raumgruppe (85), Vorlage:Raumgruppe (86), Vorlage:Raumgruppe (87), Vorlage:Raumgruppe (88)  –  –  –  – Scheelit
Baotit
12 tetragonal-trapezoedrisch D4 422 4/mmm Vorlage:Raumgruppe (89), Vorlage:Raumgruppe (90), Vorlage:Raumgruppe (91), Vorlage:Raumgruppe (92), Vorlage:Raumgruppe (93), Vorlage:Raumgruppe (94), Vorlage:Raumgruppe (95), Vorlage:Raumgruppe (96), Vorlage:Raumgruppe (97), Vorlage:Raumgruppe (98)  +  +  –  + Cristobalit
Maucherit
13 ditetragonal-pyramidal C4v 4mm Vorlage:Raumgruppe (99), Vorlage:Raumgruppe (100), Vorlage:Raumgruppe (101), Vorlage:Raumgruppe (102), Vorlage:Raumgruppe (103), Vorlage:Raumgruppe (104), Vorlage:Raumgruppe (105), Vorlage:Raumgruppe (106), Vorlage:Raumgruppe (107), Vorlage:Raumgruppe (108), Vorlage:Raumgruppe (109), Vorlage:Raumgruppe (110)  –  – [001]  + Lenait
Diaboleit
14 tetragonal-skalenoedrisch D2d (Vd) 42m 42m Vorlage:Raumgruppe (111), Vorlage:Raumgruppe (112), Vorlage:Raumgruppe (113), Vorlage:Raumgruppe (114) –  + –  + Chalkopyrit
Stannit
4m2 Vorlage:Raumgruppe (115), Vorlage:Raumgruppe (116), Vorlage:Raumgruppe (117), Vorlage:Raumgruppe (118), Vorlage:Raumgruppe (119), Vorlage:Raumgruppe (120), Vorlage:Raumgruppe (121), Vorlage:Raumgruppe (122)
15 ditetragonal-dipyramidal D4h 4/m2/m2/m 4/mmm Vorlage:Raumgruppe (123), Vorlage:Raumgruppe (124), Vorlage:Raumgruppe (125), Vorlage:Raumgruppe (126), Vorlage:Raumgruppe (127), Vorlage:Raumgruppe (128), Vorlage:Raumgruppe (129), Vorlage:Raumgruppe (130), Vorlage:Raumgruppe (131), Vorlage:Raumgruppe (132), Vorlage:Raumgruppe (133), Vorlage:Raumgruppe (134), Vorlage:Raumgruppe (135), Vorlage:Raumgruppe (136), Vorlage:Raumgruppe (137), Vorlage:Raumgruppe (138), Vorlage:Raumgruppe (139), Vorlage:Raumgruppe (140), Vorlage:Raumgruppe (141), Vorlage:Raumgruppe (142)  –  –  –  – Rutil
Zirkon
16 trigonal-pyramidal C3 3 3 tri­go­nal he­xa­go­nal Vorlage:Raumgruppe (143), Vorlage:Raumgruppe (144), Vorlage:Raumgruppe (145), Vorlage:Raumgruppe (146)  +  +  [001]  + Carlinit
Aqualith
17 rhomboedrisch C3i (S6) 3 Vorlage:Raumgruppe (147), Vorlage:Raumgruppe (148)  –  –  –  – Dolomit
Dioptas
18 trigonal-trapezoedrisch D3  321 32 3m Vorlage:Raumgruppe (150), Vorlage:Raumgruppe (152), Vorlage:Raumgruppe (154), Vorlage:Raumgruppe (155) + + – + Quarz
Tellur
312 Vorlage:Raumgruppe (149), Vorlage:Raumgruppe (151), Vorlage:Raumgruppe (153)
19 ditrigonal-pyramidal C3v 3m1 3m Vorlage:Raumgruppe (156), Vorlage:Raumgruppe (158), Vorlage:Raumgruppe (160), Vorlage:Raumgruppe (161) – – [001] + Turmalin
Pyrargyrit
31m Vorlage:Raumgruppe (157), Vorlage:Raumgruppe (159)
20 ditrigonal-skalenoedrisch D3d 312/m 3m Vorlage:Raumgruppe (162), Vorlage:Raumgruppe (163) – – – – Calcit
Korund
32/m1 Vorlage:Raumgruppe (164), Vorlage:Raumgruppe (165), Vorlage:Raumgruppe (166), Vorlage:Raumgruppe (167)
21 hexagonal-pyramidal C6 6 6/m he­xa­go­nal Vorlage:Raumgruppe (168), Vorlage:Raumgruppe (169), Vorlage:Raumgruppe (170), Vorlage:Raumgruppe (171), Vorlage:Raumgruppe (172), Vorlage:Raumgruppe (173)  +  +  [001]  + Nephelin
Zinkenit
 22 trigonal-dipyramidal C3h 6 Vorlage:Raumgruppe (174)  –  –  –  + Penfieldit
Laurelit
23 hexagonal-dipyramidal C6h 6/m Vorlage:Raumgruppe (175), Vorlage:Raumgruppe (176)  –  –  –  – Apatit
Zemannit
24 hexagonal-trapezoedrisch D6 622 6/mmm Vorlage:Raumgruppe (177), Vorlage:Raumgruppe (178), Vorlage:Raumgruppe (179), Vorlage:Raumgruppe (180), Vorlage:Raumgruppe (181), Vorlage:Raumgruppe (182)  +  +  –  + Hochquarz
Pseudorutil
25 dihexagonal-pyramidal C6v 6mm Vorlage:Raumgruppe (183), Vorlage:Raumgruppe (184), Vorlage:Raumgruppe (185), Vorlage:Raumgruppe (186)  –  – [001]  + Wurtzit
Zinkit
26 ditrigonal-dipyramidal D3h 6m2 6m2 Vorlage:Raumgruppe (187), Vorlage:Raumgruppe (188) – – – + Bastnäsit
Benitoit
62m Vorlage:Raumgruppe (189), Vorlage:Raumgruppe (190)
27 dihexagonal-dipyramidal D6h 6/m2/m2/m 6/mmm Vorlage:Raumgruppe (191), Vorlage:Raumgruppe (192), Vorlage:Raumgruppe (193), Vorlage:Raumgruppe (194)  –  –  –  – Graphit
Magnesium
28 tetraedrisch-pentagondodekaedrisch T 23 m3 ku­bisch Vorlage:Raumgruppe (195), Vorlage:Raumgruppe (196), Vorlage:Raumgruppe (197), Vorlage:Raumgruppe (198), Vorlage:Raumgruppe (199)  +  +  –  + Ullmannit
Natriumbromat
29 disdodekaedrisch Th 2/m3 m3 Vorlage:Raumgruppe (200), Vorlage:Raumgruppe (201), Vorlage:Raumgruppe (202), Vorlage:Raumgruppe (203), Vorlage:Raumgruppe (204), Vorlage:Raumgruppe (205), Vorlage:Raumgruppe (206)  –  –  –  – Pyrit
Kalialaun
30 pen­ta­gon-i­ko­si­te­tra­e­drisch O 432 m3m Vorlage:Raumgruppe (207), Vorlage:Raumgruppe (208), Vorlage:Raumgruppe (209), Vorlage:Raumgruppe (210), Vorlage:Raumgruppe (211), Vorlage:Raumgruppe (212), Vorlage:Raumgruppe (213), Vorlage:Raumgruppe (214)  +  +  –  – Maghemit
Ye’elimit
31 he­xa­kis­te­tra­ed­risch Td 43m Vorlage:Raumgruppe (215), Vorlage:Raumgruppe (216), Vorlage:Raumgruppe (217), Vorlage:Raumgruppe (218), Vorlage:Raumgruppe (219), Vorlage:Raumgruppe (220)  –  –  –  + Sphalerit
Sodalith
32 he­xa­kis­ok­ta­e­drisch Oh 4/m32/m m3m Vorlage:Raumgruppe (221), Vorlage:Raumgruppe (222), Vorlage:Raumgruppe (223), Vorlage:Raumgruppe (224), Vorlage:Raumgruppe (225), Vorlage:Raumgruppe (226), Vorlage:Raumgruppe (227), Vorlage:Raumgruppe (228), Vorlage:Raumgruppe (229), Vorlage:Raumgruppe (230)  –  –  –  – Diamant
Kupfer
<templatestyles src="FN/styles.css" />{{#if: ||
}}<{{#if: |span|div}} class="fussnoten-inhalt references {{#if: ||{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|fussnoten-floatfix}} }}">{{#invoke:TemplUtl|nowiki1|1}}{{#if: | | }}{{#ifeq: Die Hintergrundfarbe zeigt die Holoedrie und Meroedrie(n) der jeweiligen Kristallsysteme an.
Holoedrie:
{{#switch:Die Punktgruppe stimmt mit der Punktgruppe des Gitters überein
 s = !  Hintergrundfarbe87CEFA}}! hex| #87CEFA|{{#if:Die Punktgruppe stimmt mit der Punktgruppe des Gitters überein|Die Punktgruppe stimmt mit der Punktgruppe des Gitters überein}}}}

}}

Hemiedrien:
{{#switch:Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse
 s = [[Vorlage:Farbindex/Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse|!]]  HintergrundfarbeD0F0FF}}[[Vorlage:Farbindex/Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse|!]] #default = {{#ifeq:Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse|hex| #D0F0FF|{{#if:Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse|Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse}}}}

}}

{{#switch:Hemimorphie: Wegfall der Spiegelebene senkrecht zur Hauptachse
 s = !  HintergrundfarbeF0E68C}}! hex| #F0E68C|{{#if:Hemimorphie: Wegfall der Spiegelebene senkrecht zur Hauptachse|Hemimorphie: Wegfall der Spiegelebene senkrecht zur Hauptachse}}}}

}}

{{#switch:Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren
 s = [[Vorlage:Farbindex/Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren|!]]  HintergrundfarbeF0F0C0}}[[Vorlage:Farbindex/Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren|!]] #default = {{#ifeq:Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren|hex| #F0F0C0|{{#if:Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren|Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren}}}}

}}

{{#switch:Hemiedrie 2. Art: Wegfall aller Inversionszentren, nur geradzahlige Drehinversionsachsen
 s = [[Vorlage:Farbindex/Hemiedrie 2. Art: Wegfall aller Inversionszentren, nur geradzahlige Drehinversionsachsen|!]]  HintergrundfarbeCCCC99}}[[Vorlage:Farbindex/Hemiedrie 2. Art: Wegfall aller Inversionszentren, nur geradzahlige Drehinversionsachsen|!]] #default = {{#ifeq:Hemiedrie 2. Art: Wegfall aller Inversionszentren, nur geradzahlige Drehinversionsachsen|hex| #CCCC99|{{#if:Hemiedrie 2. Art: Wegfall aller Inversionszentren, nur geradzahlige Drehinversionsachsen|Hemiedrie 2. Art: Wegfall aller Inversionszentren, nur geradzahlige Drehinversionsachsen}}}}

}}

Tetartoedrien:
{{#switch:Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen Drehachsen. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktgruppen ebenfalls enantiomorph
 s = [[Vorlage:Farbindex/Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen Drehachsen. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktgruppen ebenfalls enantiomorph|!]]  HintergrundfarbeFFFF66}}[[Vorlage:Farbindex/Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen Drehachsen. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktgruppen ebenfalls enantiomorph|!]] #default = {{#ifeq:Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen Drehachsen. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktgruppen ebenfalls enantiomorph|hex| #FFFF66|{{#if:Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen Drehachsen. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktgruppen ebenfalls enantiomorph|Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen Drehachsen. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktgruppen ebenfalls enantiomorph}}}}

}}

{{#switch:Tetartoedrie 2. Art: Untergruppe der Hemiedrie 2. Art; Wegfall aller Spiegelebenen und 2-zähligen Drehachsen
 s = !  HintergrundfarbeFFDD00}}! hex| #FFDD00|{{#if:Tetartoedrie 2. Art: Untergruppe der Hemiedrie 2. Art; Wegfall aller Spiegelebenen und 2-zähligen Drehachsen|Tetartoedrie 2. Art: Untergruppe der Hemiedrie 2. Art; Wegfall aller Spiegelebenen und 2-zähligen Drehachsen}}}}

}}

s = !  Hintergrundfarbe87CEFA}}! hex| #87CEFA|{{#if:Die Punktgruppe stimmt mit der Punktgruppe des Gitters überein|Die Punktgruppe stimmt mit der Punktgruppe des Gitters überein}}}}

}}

Hemiedrien:
{{#switch:Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse
 s = [[Vorlage:Farbindex/Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse|!]]  HintergrundfarbeD0F0FF}}[[Vorlage:Farbindex/Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse|!]] #default = {{#ifeq:Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse|hex| #D0F0FF|{{#if:Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse|Paramorphie: Wegfall der Spiegelebene parallel zur Hauptachse}}}}

}}

{{#switch:Hemimorphie: Wegfall der Spiegelebene senkrecht zur Hauptachse
 s = !  HintergrundfarbeF0E68C}}! hex| #F0E68C|{{#if:Hemimorphie: Wegfall der Spiegelebene senkrecht zur Hauptachse|Hemimorphie: Wegfall der Spiegelebene senkrecht zur Hauptachse}}}}

}}

{{#switch:Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren
 s = [[Vorlage:Farbindex/Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren|!]]  HintergrundfarbeF0F0C0}}[[Vorlage:Farbindex/Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren|!]] #default = {{#ifeq:Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren|hex| #F0F0C0|{{#if:Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren|Enantiomorphie: Wegfall aller Spiegelebenen und Inversionszentren}}}}

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{{#switch:Hemiedrie 2. Art: Wegfall aller Inversionszentren, nur geradzahlige Drehinversionsachsen
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Tetartoedrien:
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 s = [[Vorlage:Farbindex/Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen Drehachsen. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktgruppen ebenfalls enantiomorph|!]]  HintergrundfarbeFFFF66}}[[Vorlage:Farbindex/Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen Drehachsen. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktgruppen ebenfalls enantiomorph|!]] #default = {{#ifeq:Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen Drehachsen. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktgruppen ebenfalls enantiomorph|hex| #FFFF66|{{#if:Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen Drehachsen. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktgruppen ebenfalls enantiomorph|Tetartoedrie: Untergruppe der Paramorphie, Hemimorphie oder Enantiomorphie; Wegfall aller Spiegelebenen und teilweise der 2-zähligen Drehachsen. Da nur Drehachsen vorkommen, sind diese Punktgruppen ebenfalls enantiomorph}}}}

}}

{{#switch:Tetartoedrie 2. Art: Untergruppe der Hemiedrie 2. Art; Wegfall aller Spiegelebenen und 2-zähligen Drehachsen
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Über die Größenordnung der optischen Aktivität, Pyro- und Piezoelektrizität sowie des SHG-Effekts kann rein aufgrund der Symmetrie keine Aussage getroffen werden. Für die Pyroelektrizität ist, sofern vorhanden, die Richtung des pyroelektrischen Vektors angegeben.
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Anmerkungen

Der Zusammenhang zwischen der Raum- und der Punktgruppe eines Kristalls ergibt sich folgendermaßen: Die Menge aller Translationen <math>T</math> einer Raumgruppe <math>R</math> bilden einen Normalteiler von <math>R</math>. Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur Faktorgruppe <math>R/T</math> isomorph ist. Die Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Kristalls am Gamma-Punkt, d. h. seine makroskopischen Eigenschaften. An anderen Stellen der Brillouinzone wird die Symmetrie des Kristalls durch die Sterngruppe des entsprechenden Wellenvektors beschrieben. Diese sind für Raumgruppen, die zur selben Punktgruppe gehören, in der Regel verschieden.

Das „Verbot“ von 5-, 7- und höherzähligen Drehachsen gilt nur für dreidimensional-periodische Kristalle; dagegen kommen sowohl bei Molekülen als auch bei Festkörpern in den Quasikristallen solche Drehachsen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle und der darauf folgenden Neudefinition des Begriffs Kristall war das Verbot als für Kristalle universell gültig angenommen worden.<ref name="Shechtman"> {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:The Nobel Prize in Chemistry 2011|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=The Nobel Prize in Chemistry 2011}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2011/press.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=The Nobel Prize in Chemistry 2011}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2011/press.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=The Nobel Prize in Chemistry 2011}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Nobelprize.org{{#if: 2011-10-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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Das Beugungsbild von Kristallen bei Strukturanalysen mithilfe der Röntgenbeugung enthält gemäß dem Friedelschen Gesetz in Abwesenheit anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum. Daher können Kristalle aus den Beugungsdaten nicht direkt einer der 32 Kristallklassen zugeordnet werden, sondern nur einer der 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen, die auch als Lauegruppen bezeichnet werden. Durch die Identifikation der Lauegruppe ist auch die Zugehörigkeit des Kristalls zu einem der sieben Kristallsysteme geklärt.

Punktgruppen in der Molekülphysik

Punktgruppen und Molekülsymmetrie
Schoenflies Hermann-Mauguin Symmetrieelemente Molekülbeispiele
Punktgruppen geringer Symmetrie
C1 <math>1\ </math> I/E = C1 CHFClBr, SOBrCl
Cs ≡ S1 <math>m\ </math> σ ≡ S1 BFClBr, SOCl2
Ci ≡ S2 <math>\bar{1}</math> i ≡ S2 1,2-Dibrom-1,2-Dichlorethan, meso-Weinsäure
ebene Drehgruppen SO(2)
C2 <math>2\ </math> C2 H2O2, S2Cl2
C3 <math>3\ </math> C3 Triphenylmethan, N(GeH3)3
C4 <math>4\ </math> C4
C5 <math>5\ </math> C5 15-Krone-5
C6 <math>6\ </math> C6 α-Cyclodextrin
Drehgruppen mit vertikalen Spiegelebenen
C2v ≡ D1h <math>2mm\ </math> C2, 2σv H2O, SO2Cl2, o-/m-Dichlorbenzol
C3v <math>3m\ </math> C3, 3σv NH3, CHCl3, CH3Cl, POCl3
C4v <math>4mm\ </math> C4, 4σv SF5Cl, XeOF4
C5v - C5, 5σv Corannulen, C5H5In
C6v <math>6mm\ </math> C6, 6σv Benzol-hexamethylbenzol-chrom(0)
C∞v - C∞, ∞σv lineare Moleküle wie HCN, COS
Drehgruppen mit horizontalen Spiegelebenen
C2h ≡ D1d ≡ S2v <math>2/m\ </math> C2, σh, i Oxalsäure, trans-Buten
C3h ≡ S3 <math>3/m\ </math> C3, σh Borsäure
C4h <math>4/m\ </math> C4, σh, i Polycycloalkan C12H20
C6h <math>6/m\ </math> C6, σh, i Hexa-2-propenyl-benzol
Drehspiegelgruppen
S4 <math>\bar{4}</math> S4 12-Krone-4, Tetraphenylmethan, Si(OCH3)4
S6 ≡ C3i <math>\bar{3}</math> S6 18-Krone-6, Hexacyclopropylethan
Diedergruppen
D2 ≡ S1v <math>222\ </math> 3C2 Twistan
D3 <math>32\ </math> C3, 3C2 Tris-chelatkomplexe
D4 <math>422\ </math> C4, 4C2 -
D6 <math>622\ </math> C6, 6C2 Hexaphenylbenzol
Diedergruppen mit horizontalen Spiegelebenen
D2h <math>mmm\ </math> S2, 3C2, 2σv, σh, i Ethen, p-Dichlorbenzol
D3h <math>\bar{6}2m</math> S3, C3, 3C2, 3σv, σh BF3, PCl5
D4h <math>4/mmm\ </math> S4, C4, 4C2, 4σv, σh, i XeF4
D5h - S5, C5, 5C2, 5σv, σh IF7
D6h <math>6/mmm\ </math> S6, C6, 6C2, 6σv, σh, i Benzol
D∞h - S2, C∞, ∞C2, ∞σv, σh, i lineare Moleküle wie Kohlendioxid, Ethin
Diedergruppen mit diagonalen Spiegelebenen
D2d ≡ S4v <math>\bar{4}2m\ </math> S4, 2C2, 2σd Propadien, Cyclooctatetraen, B2Cl4
D3d ≡ S6v <math>\bar{3}m\ </math> S6, C3, 3C2, 3σd, i Cyclohexan
D4d ≡ S8v - S8, C4, 4C2, 4σd Cyclo-Schwefel (S8)
D5d ≡ S10v - S10, C5, 5C2, 5σd Ferrocen
Tetraedergruppen
T <math>23\ </math> 4C3, 3C2 Pt(PF3)4
Th <math>m3</math> 4S6, 4C3, 3C2, 3σh, i Fe(C6H5)6
Td <math>\bar{4}3m</math> 3S4, 4C3, 3C2, 6σd CH4, P4, Adamantan
Oktaedergruppen
O <math>432\ </math> 3C4, 4C3, 6C2 -
Oh <math>m3m\ </math> 4S6, 3S4, 3C4, 4C3, 6C2, 3σh, 6σd, i SF6, Cuban
Ikosaedergruppen
I - 12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2 -
Ih - 12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2, 15σv, i Fulleren-C60, Fulleren-C20 (Pentagondodekaeder)
räumliche Drehgruppen SO(3)
Kh - ∞C∞, ∞σ, i einatomige Teilchen wie Helium, Elementarteilchen

Anwendungen

Die Eigenschaften eines Kristalls hängen im Allgemeinen von der Richtung ab. Daher werden alle Materialeigenschaften durch einen entsprechenden Tensor beschrieben.

Es gibt einen festen Zusammenhang zwischen der Punktgruppe eines Kristalls und der Form des jeweiligen Eigenschaftstensors bzw. der Anzahl seiner unabhängigen Komponenten. Dazu zwei Beispiele:

  1. In Punktgruppen mit einem Inversionszentrum sind alle Komponenten eines ungeraden Tensors identisch Null. Daher gibt es in diesen Punktgruppen keinen Pyroeffekt, keinen Piezoeffekt und auch keine optische Aktivität.
  2. Die elastischen Konstanten sind ein Tensor 4. Stufe, der im Allgemeinen 34 = 81 Komponenten hat. Im kubischen Kristallsystem gibt es aber nur drei unabhängige, von Null verschiedene Komponenten:
  • C1111 (= C2222 = C3333)
  • C1122 (= C2233 = C1133) und
  • C1212 (= C1313 = C2323);
alle andere Komponenten sind Null.

In der Molekül- und Festkörperphysik kann man aus der Symmetrie des Moleküls bzw. Kristalls die Anzahl der infrarot- und raman-aktiven Moden und deren Auslenkungsmuster bestimmen. Eine Zuordnung der gemessenen Frequenzen zu den jeweiligen Moden ist mit gruppentheoretischen Methoden nicht möglich. Kann man diese Zuordnung durchführen, so kann man aus den Frequenzen die Bindungsenergien zwischen den Atomen berechnen.

Literatur

Kristallographie
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Molekülphysik
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  • J. Michael Hollas: Die Symmetrie von Molekülen, Walter de Gruyter, Berlin 1975, ISBN 3-11-004637-7.

Weblinks

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Einzelnachweise

<references />

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