Schwarzsches Lemma
{{#if: ist über ein Lemma der komplexen Analysis. Es sollte nicht mit dem Satz von Schwarz verwechselt werden.
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Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Amandus Schwarz) ist ein Satz der Funktionentheorie über holomorphe Selbstabbildungen der Einheitskreisscheibe, welche den Nullpunkt fest lassen.
Aussage
Es bezeichne <math>\mathbb{D} := \left\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z| < 1 \right\}</math> die offene Einheitskreisscheibe. Sei <math>f \colon \mathbb{D} \to \mathbb{D}</math> eine holomorphe Funktion mit <math>f(0) = 0</math>. Dann gilt <math>|f(z)| \leq |z|</math> für alle <math>z \in \mathbb{D}</math> und <math>|f'(0)|\leq 1</math>. Falls in einem Punkt <math>z_0 \in \mathbb{D}, z_0 \neq 0,</math> zusätzlich die Gleichheit <math>|f(z_0)| = |z_0|</math> besteht oder <math>|f'(0)| = 1</math> gilt, so ist <math>f</math> eine Drehung, d. h. <math>f(z) = e^{i \lambda} \cdot z</math> für ein geeignetes <math>\lambda \in \mathbb{R}</math>.
Beweis
Sei <math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n </math> die Taylorentwicklung von <math> f </math> um den Punkt <math> z = 0 </math>. Wegen <math> f(0) = 0 </math> ist <math> a_0 = 0 </math>, so dass die Funktion
- <math> g(z) := \begin{cases} \frac{f(z)}{z}, & \text{falls } z \not= 0, \\ f'(0), &\text{sonst} \end{cases} </math>
auf <math> \mathbb{D} </math> holomorph ist und die Taylorentwicklung <math> g(z) = \sum_{n=1}^\infty a_{n}z^{n-1} </math> um den Nullpunkt hat. Nach dem Maximumprinzip nimmt die Funktion <math> |g| </math> auf dem Kreis <math> K_r := \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \leq r\} </math>, <math> r \in (0,1) </math>, ihr Maximum auf dem Rand <math> \partial K_r = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = r\} </math> an. Dort gilt aber:
- <math> |g(z)| = \left|\frac{f(z)}{z} \right| = \frac{|f(z)|}{r} \leq \frac{1}{r}, </math>
so dass |g(z)| auf ganz <math> K_r </math> durch <math> \frac{1}{r} </math> beschränkt ist. Da <math>0< r <1</math> beliebig ist, so folgt durch Grenzübergang <math> r\to 1</math> schon <math> |g(z)| \leq 1</math> und somit <math>|f(z)| \leq |z| </math> für alle <math> z \in \mathbb{D} </math>. Weiterhin ist <math> |f'(0)| = |g(0)| \leq 1 </math>.
Falls zusätzlich ein <math>z_0 \in \mathbb{D}</math> mit <math>|f(z_0)| = |z_0|</math> existiert oder <math>|f'(0)| = 1</math> gilt, dann gibt es ein <math>z_0 \in \mathbb{D}</math> mit <math>|g(z_0)| = 1</math>. Mit dem Maximumprinzip folgt, dass <math>g</math> konstant ist, also <math>g(z) = c</math> für ein <math>c</math> mit <math>|c|=1</math>. Es gilt also <math>f(z) = c \cdot z</math>.
Anwendungen
- Bestimmung der holomorphen Automorphismengruppe der Einheitskreisscheibe: <math>\mathrm{Aut}(\mathbb{D}) = \left\{ f(z) = e^{i \lambda} \frac{z - z_0}{1 - \overline{z_0} z} \;,\; \lambda \in [0, 2\pi), \; z_0 \in \mathbb{D} \right\}</math>.
- Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene <math>\mathbb{H}</math> bestimmen und erhält <math>\mathrm{Aut}(\mathbb{H}) \cong PSL(2, \mathbb{R})</math>.
- Das schwarzsche Lemma ist eines der Hilfsmittel, die beim modernen, mit Hilfe normaler Familien geführten Beweis des riemannschen Abbildungssatzes verwendet werden.
- Lemma von Schwarz-Pick: Für holomorphe Funktionen <math>f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}</math> gilt <math>\frac{|f'(z)|}{1 - |f(z)|^2} \leq \frac{1}{1 - |z|^2}</math> für alle <math>z \in \mathbb{D}</math>.
Verschärfung
Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion <math>f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}</math> mit <math>f(0) = 0</math> in der Potenzreihenentwicklung <math>f(z) = \sum_{j=1}^\infty a_j z^j</math> die Bedingung <math>|a_1| \leq 1</math> gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch <math>|a_2| \leq 2</math> gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass <math>|a_j| \leq j</math> für alle <math>j \in \mathbb{N}\; </math>. Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.
Literatur
- Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg Verlag, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6