Tesserakt
{{#if: erläutert den vierdimensionalen Hyperwürfel; zu den Bedeutungen des Wortes Tesseract siehe dort.
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}} Vorlage:Infobox Reguläres 4-Polytop
Das 8-Zell oder der Tesserakt [<templatestyles src="IPA/styles.css" />
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}}{{#invoke:TemplatePar|check
|all= 1= |opt= 2= Tondatei= |template=Vorlage:IPA |errNS= 0 |cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:IPA |format=@@@ }}] ist eines der sechs konvexen regulären vierdimensionalen Polytope (der Analoga der platonischen Körper im vierdimensionalen euklidischen Raum). Konvexe reguläre 4-Polytope werden von platonischen Körpern begrenzt, die in diesem Kontext Zellen genannt werden.<ref name="Volkert_2018" details="S. 56.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Beim 8-Zell sind dies 8 Würfel. Das 8-Zell besteht außerdem aus 24 Flächen (Quadraten), 32 Kanten und 16 Ecken. Das Schläfli-Symbol des 8-Zells ist <math>\{4,3,3\}</math>. Es sagt aus, dass das 8-Zell aus Würfeln <math>\{ 4, 3 \}</math> aufgebaut ist, von denen jeweils 3 an einer Kante aneinander grenzen.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 131.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die Eckfigur ist ein regelmäßiges Tetraeder <math>\{ 3, 3 \}</math>, was bedeutet, dass an einer Ecke 4 Würfel aneinander grenzen. Außerdem grenzen an einer Fläche zwei Würfel aneinander. Das duale Polytop des 8-Zells ist das 16-Zell.
Geschichte
Das 8-Zell wurde von Ludwig Schläfli entdeckt und in seiner in den Jahren 1850–1852 entstandenen<ref name="Schläfli_1901_Vorwort">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schläfli_1950_Nachwort">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Arbeit Theorie der vielfachen Kontinuität vorgestellt.<ref name="Schläfli_1901" details="Abschnitte 17, 18 und 34.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schläfli_1950" details="Abschnitte 17, 18 und 34.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> In ihr beschrieb er als erster alle konvexen regulären 4-Polytope, alle Parkettierungen des vierdimensionalen euklidischen Raums, vier der zehn sternförmigen regulären 4-Polytope und alle regulären höherdimensionalen Polytope und Parkettierungen.
Da Schläflis Arbeit erst 1901, sechs Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht wurde, wurden die regulären Polytope in den Jahren 1880–1900 mehrfach unabhängig voneinander wiederentdeckt,<ref name="Coxeter_1973" details="S. 143–144." /><ref name="Hess_1885" details="S. 31–32.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Brückner_1893" details="S. 50–51.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Volkert_2018" details="S. 70." /> unter anderem von Washington Irving Stringham,<ref name="Stringham_1880">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> G. Forchhammer,<ref name="Forchhammer_1881">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Reinhold Hoppe,<ref name="Hoppe_1882_1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Hoppe_1882_2">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Karl Rudel,<ref name="Rudel_1882">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Victor Schlegel,<ref name="Schlegel_1883">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Anton Puchta,<ref name="Puchta_1884_1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Puchta_1884_2">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Otto Biermann,<ref name="Biermann_1884">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> H. W. Curjel<ref name="Curjel_1899">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> und Thorold Gosset.<ref name="Gosset_1900">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Außerdem entdeckte Edmund Hess 1885 alle zehn sternförmigen regulären 4-Polytope.<ref name="Hess_1885" />
In der Anfangszeit der Forschung zu den regulären Polytopen gab es noch keine einheitliche Terminologie. Beispielsweise bezeichnete Ludwig Schläfli n-dimensionale Polytope als Polyscheme.<ref name="Schläfli_1901" details="Abschnitt 10." /><ref name="Schläfli_1950" details="Abschnitt 10." /> Die heute gebräuchliche Bezeichnung Polytop wurde von Reinhold Hoppe eingeführt.<ref name="Hoppe_1882_1" details="S. 30." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. vi." /> Ludwig Schläfli bezeichnete das 8-Zell als Oktaschem,<ref name="Schläfli_1901" details="S. 51." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 222." /> während Washington Irving Stringham es Oktahedroid oder (8)-hedroid nannte.<ref name="Stringham_1880" details="S. 11." /> Die heute übliche Bezeichnung<ref name="Volkert_2018" details="S. 57." /> Achtzell wurde von Victor Schlegel eingeführt.<ref name="Schlegel_1883" details="S. 433–434." /> Die Bezeichnung Tesserakt wurde erstmals von Charles Howard Hinton verwendet.<ref name="Volkert_2018" details="S. 57, 220." /><ref name="Hinton_1888" details="S. 118.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Weitere Bezeichnungen sind vierdimensionales Maßpolytop und vierdimensionaler Hyperwürfel.<ref name="Volkert_2018" details="S. 57." />
Konstruktionen des 8-Zells
Der Beweis der Existenz der platonischen Körper (der regulären Polyeder im dreidimensionalen Raum) kann geführt werden, ohne sie explizit konstruieren zu müssen. Dazu müssen lediglich die fünf möglichen Anordnungen von regulären Polygonen um eine Ecke im dreidimensionalen Raum bestimmt werden. Hieraus und aus dem Eulerschen Polyedersatz <math display="inline">e - k + f = 2</math> kann unmittelbar bestimmt werden, aus wie vielen Ecken, Kanten und Flächen der jeweilige platonische Körper besteht.<ref name="Schoute_1905" details="S. 153.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schläfli_1901" details="S. 42–43." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 212–213." /> Hierbei bezeichnet <math display="inline">e</math> die Anzahl der Ecken, <math display="inline">k</math> die Anzahl der Kanten und <math display="inline">f</math> die Anzahl der Flächen des Polyeders.
Die vierdimensionale Version des Eulerschen Polyedersatzes lautet <math display="inline">e - k + f - z = 0</math>, wobei <math display="inline">z</math> die Anzahl der Zellen bezeichnet.<ref name="Schläfli_1901" details="S. 20." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 190." /> Da dies eine homogene Gleichung ist, lassen sich aus der Konstruktion der Anordnung von Polyedern um eine Ecke im vierdimensionalen Raum nicht die Anzahl der Zellen, Flächen, Kanten und Ecken eines 4-Polytops herleiten, sondern lediglich die Verhältnisse dieser Zahlen.<ref name="Schläfli_1901" details="S. 44–45." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 213–214." /><ref name="Schoute_1905" details="S. 196–198." /> Für das 8-Zell sind diese gegeben durch <math display="inline">e : k : f : z = 2 : 4 : 3 : 1</math>. Um die Existenz des 8-Zells zu beweisen, muss es daher explizit konstruiert werden.<ref name="Schläfli_1901" details="S. 44–45." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 213–214." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. 136." />
Im Folgenden werden verschiedene Konstruktionen des 8-Zells beschrieben.
Konstruktion über Analogie zum Würfel
Eine Strecke kann dadurch konstruiert werden, dass ein Punkt entlang einer Geraden um einen Abstand <math>a</math> verschoben wird. Ein Quadrat kann konstruiert werden, indem die Strecke in der zweiten Dimension senkrecht zur Strecke um den Abstand <math>a</math> verschoben wird. Ein Würfel kann konstruiert werden, indem das Quadrat in der dritten Dimension senkrecht zur Ebene, in der das Quadrat liegt, um den Abstand <math>a</math> verschoben wird. Analog dazu kann das 8-Zell konstruiert werden, indem der Würfel in der vierten Dimension senkrecht zum Raum, in dem der Würfel liegt, um den Abstand <math>a</math> verschoben wird.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 122–123." /> Diese Konstruktion ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt.
Die Konstruktion zeigt, dass das 8-Zell aus 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadraten und 8 Würfeln besteht.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 122–123." />
Konstruktion über kartesische Koordinaten
Ludwig Schläfli beweist die Existenz des 8-Zells durch Angabe seiner kartesischen Koordinaten und durch die Angabe der Hyperebenen, in denen die Zellen liegen. Die Ecken des 8-Zells sind gegeben durch:<ref name="Schläfli_1901" details="S. 51." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 222." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. 156." />
- <math display="inline">\frac{1}{2} ( \pm 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1 )^\top</math> (16 Punkte).
Die Koordinaten wurden so normiert, dass die Ecken auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen. Die Kanten der Würfel haben damit eine Länge von <math display="inline">1</math>.
Die Zellen (Würfel) des 8-Zells sind dadurch gegeben, dass das Vorzeichen einer seiner Koordinaten fixiert wird. Beispielsweise ist der Würfel in der Hyperebene <math display="inline">x_1 = \frac{1}{2}</math> durch die acht Ecken <math display="inline">\frac{1}{2} ( 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1 )^\top</math> gegeben. Die Ebenen, in denen die acht Würfel liegen, sind gegeben durch <math display="inline">x_1 = \pm \frac{1}{2}</math>, <math display="inline">x_2 = \pm \frac{1}{2}</math>, <math display="inline">x_3 = \pm \frac{1}{2}</math> und <math display="inline">x_4 = \pm \frac{1}{2}</math>.<ref name="Schläfli_1901" details="S. 51." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 222." />
Auch diese Konstruktion zeigt, dass das 8-Zell aus 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadraten und 8 Würfeln besteht.<ref name="Schläfli_1901" details="S. 51." /><ref name="Schläfli_1950" details="S. 222." />
Aus der Koordinatendarstellung ergibt sich, dass die Ecken des 8-Zells entlang einer Diagonale zwischen zwei Würfelmittelpunkten zwei Schichten bilden, die jeweils 8 Ecken enthalten.<ref name="Schoute_1905" details="S. 222." /> Hieraus folgt, dass die Zellen entlang der Diagonalen drei Schichten von 1, 6, und 1 Würfeln bilden.<ref name="Banchoff_2013" details="S. 257.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Visualisierung der Konstruktion des 8-Zells
Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 8-Zells aus den oben beschriebenen drei Schichten von Würfeln. Dabei werden die Würfel vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum, also in eine Hyperebene, projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt <math display="inline">(x_1, x_2, x_3, x_4)^\top = (0, 0, 0, 1)^\top</math>. Die Projektion erfolgt in die <math display="inline">x_1 x_2 x_3</math>-Hyperebene. Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.<ref name="Schlegel_1883" details="S. 437–439." />
Im ersten Teil des Videos werden die Würfel der einzelnen Schichten in denselben Farben und transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 8-Zells darzustellen. Die drei Schichten werden nacheinander eingeblendet. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherige Schicht angrenzt, werden die Würfel nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Würfel rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 8-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.
Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Würfel. Da dieser in der Projektion, wie bei einem Schlegeldiagramm üblich, denselben Raum einnimmt, wie die sieben zuvor eingeblendeten Würfel, wird er größer eingeblendet und schrumpft dann auf seine eigentliche Größe. Im vierdimensionalen Raum ist dieser Würfel disjunkt zu allen übrigen.
Im Anschluss werden die Würfel undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Würfel und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Würfel deren Anzahl dargestellt.
Das Video visualisiert die von Victor Schlegel beschriebene Konstruktion des 8-Zells.<ref name="Schlegel_1883" details="S. 423–424." /><ref name="Schlegel_1883" details="S. 433–434." /> Diese geht von einem 8-Zell mit einem daraus entfernten Würfel aus, so dass die restlichen sieben Würfel über die oben beschriebene Projektion in einem Schlegeldiagramm in den dreidimensionalen Raum transformiert werden können. Schlegel konstruiert die Zentralprojektion des 8-Zells explizit in der Abbildung 25 seiner Arbeit. Diese Abbildung entspricht im Video dem Zeitpunkt, an dem sieben Würfel eingeblendet wurden.
Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 8-Zells nach Einblendung aller drei Schichten. Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 8-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden. Die dritte Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Zentralprojektion des 8-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung. Die Abbildung am Anfang dieses Artikels, das dreidimensionale Modell und das Zometool-Modell stellen ein Schlegeldiagramm des 8-Zells dar.
Koordinatenstellungen des 8-Zells
In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet.<ref name="Schoute_1905" details="S. 213–218." /> Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle.<ref name="Schoute_1905" details="S. 220–232." /><ref name="Schoute_1894_1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schoute_1894_2">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schoute_1894_3">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Schoute_1907">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Coxeter_1973" details="S. 237–243." /> Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 237–243." /> Das Video im vorherigen Abschnitt zeigt eine zellenzentrierte Zentralprojektion des 8-Zells.
Die im Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten angegebenen Koordinaten des 8-Zells sind zellenzentriert. Sie lassen sich mit folgender Drehmatrix in eine flächenzentrierte Koordinatenstellung transformieren:<ref name="Schoute_1905" details="S. 214." />
- <math>\frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0
\end{array} \right).</math> Eine kantenzentrierte Koordinatenstellung wird erreicht über die Drehspiegelungsmatrix<ref name="Schoute_1905" details="S. 214." />
- <math>\frac{1}{\sqrt{3}} \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0
\end{array} \right).</math> Eine eckenzentrierte Koordinatenstellung ergibt sich durch die Drehspiegelungsmatrix<ref name="Schoute_1905" details="S. 214." />
- <math>\frac{1}{2} \left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1
\end{array} \right).</math> Damit ergeben sich die eckenzentrierten Koordinaten des 8-Zells als:
- alle Permutationen von <math display="inline">( \pm 1, 0, 0, 0 )^\top</math> (8 Punkte) und
- <math display="inline">\frac{1}{2} ( \pm 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1 )^\top</math> mit einer ungeraden Anzahl von Minuszeichen (8 Punkte).
Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine Orthogonalprojektion des 8-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung. Die projizierten Ecken werden durch farbige Kreise visualisiert. In dieser Projektion werden in jeweils mehrere Ecken auf einen Punkt projiziert. Auf die roten Ecken werden jeweils zwei Ecken und auf die orangefarbene Ecke vier Ecken des 8-Zells projiziert. Die Abbildung visualisiert außerdem die projizierten Kanten des 8-Zells. Auch hier werden mehrere Kanten auf dieselbe Kante projiziert, was aber nicht durch Farben kodiert wird. Die Flächen und Zellen des 8-Zells werden in dieser Abbildung nicht dargestellt.
Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein dreidimensionales Modell einer Orthogonalprojektion des 8-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung in eine dreidimensionale Hyperebene. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden. In dieser Projektion werden jeweils zwei Würfel des 8-Zells auf ein Rhomboeder projiziert. Die äußere Begrenzung der dreidimensionalen Orthogonalprojektion des 8-Zells ist ein Rhombendodekaeder.<ref name="Hall_1893" details="S. 185–186, Abb. 3.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Die Projektion eines Würfels in zellenzentrierter Koordinatenstellung in eine zweidimensionale Ebene ist ein Quadrat, dessen vier Seiten die degenerierten Projektionen von vier Quadraten des Würfels sind. Die vier Quadrate des Würfels sind parallel zur Projektionsrichtung ausgerichtet. Daher werden diese Quadrate jeweils auf eine Strecke projiziert. Das projizierte Quadrat selbst ist die Projektion der zwei Flächen des Würfels, die senkrecht zur Projektionsrichtung liegen. Diese entsprechen dem oberen und unteren Quadrat des Würfels. Analog dazu ist die Orthogonalprojektion des 8-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung in eine dreidimensionale Hyperebene ein Würfel. Die sechs Flächen des Würfels sind degenerierte Projektionen, bei denen jeweils ein Würfel des 8-Zells auf ein Quadrat projiziert wird. Der projizierte Würfel selbst ist die Projektion der übrigen zwei Zellen des 8-Zells, die auf denselben Würfel in der Hyperebene projiziert werden.
Visualisierung der Konstruktion des 8-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung
Das nebenstehende Video zeigt die Konstruktion des 8-Zells in einer eckenzentrierten Koordinatenstellung. Es ergeben sich zwei Schichten von jeweils vier Würfeln. Es wird eine Zentralprojektion vom Punkt <math display="inline">(x_1, x_2, x_3, x_4)^\top = (0, 0, 0, 1)^\top</math> verwendet. Die Projektion erfolgt in die <math display="inline">x_1 x_2 x_3</math>-Hyperebene.
Die beiden Schichten werden in unterschiedlichen Farben dargestellt und nacheinander eingeblendet. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Würfel und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Würfel deren Anzahl dargestellt. Im ersten Teil des Videos werden die Würfel transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 8-Zells darzustellen. Um zu zeigen, wie die Schichten aneinander grenzen, werden die Würfel nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Würfel rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 8-Zells zu visualisieren.
Eine Besonderheit ist bei der zweiten Schicht zu beachten. Die vier Würfel dieser Schicht besitzen jeweils einen Punkt im Projektionszentrum. Daher würden diese Punkte auf einen unendlich fernen Punkt projiziert. Um diese Unbestimmtheit zu vermeiden, werden sie stattdessen auf den Nullpunkt in der <math display="inline">x_1 x_2 x_3</math>-Hyperebene projiziert. Dies hat zur Folge, dass die zweite Schicht scheinbar die erste Schicht durchdringt. Dies ist aber nur ein Artefakt der Projektion. Im vierdimensionalen Raum ist die zweite Schicht disjunkt zur ersten. Weiterhin ist zu beachten, dass durch das gewählte Projektionszentrum sieben der acht Ecken jedes Würfels der zweiten Schicht in eine Ebene projiziert werden. Die Würfel der zweiten Schicht erscheinen in der Projektion daher als Tetraeder, bei denen das große Dreieck in Vierecke unterteilt ist. Die übrigen Dreiecke des Tetraeders sind Vierecke, bei denen drei Ecken auf einer Geraden liegen. Topologisch besteht jedes Tetraeder daher aus sechs Vierecken, die die Projektionen der sechs Flächen eines Würfels darstellen.
Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein dreidimensionales Modell des 8-Zells, das dem Zustand nach Einblendung der der ersten Schicht von Würfeln entspricht. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.
Im Anschluss werden die Würfel undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt.
Die von Hand gezeichnete Abbildung 3 in der Arbeit von Stringham<ref name="Stringham_1880" details="S. 6, Abb. 3." /> entspricht sinngemäß dem Zustand nach der Einblendung von vier Würfeln: beide visualisieren, dass an einer Ecke des 8-Zells vier Würfel aneinander grenzen.
Orthogonalprojektion des 8-Zells in ein regelmäßiges Achteck
Harold Scott MacDonald Coxeter hat eine Konstruktion des 8-Zells angegeben, die eine besonders symmetrische Orthogonalprojektion ergibt.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 243–244." /> Die Koordinatenstellung des 8-Zells ist dabei so gewählt, dass die Projektion in eine Ebene erfolgt, die durch die Mittelpunkte der Kanten eines Petrie-Polygons des 8-Zells definiert wird. Ein Petrie-Polygon ist für ein 4-Polytop dadurch definiert, dass drei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine vier, zu einem Petrie-Polygon einer Zelle des 4-Polytops gehören, also in diesem Fall zu einem Würfel.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 223–225." /> Ein Petrie-Polygon für ein Polyeder (eine Zelle) ist dadurch definiert, dass zwei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine drei, zu einer Fläche des Polyeders gehören.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 24–25." /> Obwohl ein Petrie-Polygon eines 4-Polytops ein räumliches Polygon ist, seine Ecken also nicht in einer Ebene liegen, liegen die Mittelpunkte seiner Kanten in einer Ebene. Diese Ebene wird als Coxeter-Ebene bezeichnet.
Die nebenstehende Abbildung zeigt die Orthogonalprojektion des 8-Zells in seine Coxeter-Ebene. Dabei werden die Ecken und Kanten des 8-Zells dargestellt. Seine Flächen und Zellen werden nicht visualisiert. Im Vergleich zur oben dargestellten Orthogonalprojektion in eckenzentrierter Koordinatenstellung hat diese Projektion den Vorteil, dass die 16 Ecken des 8-Zells auf unterschiedliche Punkte in der Ebene projiziert werden, genauer gesagt auf zwei konzentrische regelmäßige Achtecke. Das äußere Achteck ist die Projektion eines Petrie-Polygons des 8-Zells. Ein weiteres Petrie-Polygon wird durch die Kanten, die die inneren acht Ecken verbinden, gebildet. In der Projektion erscheint dieses Petrie-Polygon als überschlagenes Achteck <math display="inline">\left\{\frac{8}{3}\right\}</math>.
Die Würfel des 8-Zells lassen sich in dieser Projektion folgendermaßen erkennen: an jede Kante des äußeren Petrie-Polygons grenzt ein Quadrat an. Von einem bestimmten Quadrat ausgehend befindet sich zwei Schritte weiter im Uhrzeigersinn auf dem Petrie-Polygon ein dazu paralleles Quadrat. Die beiden Quadrate sind durch vier Kanten verbunden. Je zwei davon bilden mit zwei Kanten der parallelen Quadrate eine Raute. Zwischen den beiden parallelen Quadraten lassen sich vier Rauten identifizieren. Die zwei parallelen Quadrate und die vier Rauten sind die Projektion eines Würfels des 8-Zells. Sobald ein Würfel identifiziert wurde, ergeben sich die restlichen sieben durch Drehungen um Vielfache von 45° um den Mittelpunkt der Projektion des 8-Zells. Die Drehungen entsprechen einer Verschiebung entlang der Kanten des äußeren Petrie-Polygons.
Konstruktion des 8-Zells aus zwei Würfelringen
Aus den Abbildungen im Abschnitt Visualisierung der Konstruktion des 8-Zells ist ersichtlich, dass die vier Würfel, deren Zentralprojektion ein Pyramidenstumpf mit einem vertikal ausgerichteten Quadrat als Grundfläche ist, einen Ring aus vier Würfeln bilden. Dieser Ring ist topologisch ein Volltorus.<ref name="Banchoff_2013" details="S. 258." /> Er ist in der ersten Abbildung in diesem Abschnitt dargestellt. Ein entsprechendes dreidimensionales Modell findet sich in der zweiten Abbildung in diesem Abschnitt. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.
In der Koordinatendarstellung, die im Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten angegeben ist, liegen die vier Würfel des Rings in den Hyperebenen <math display="inline">x_2 = \pm \frac{1}{2}</math> und <math display="inline">x_3 = \pm \frac{1}{2}</math>. Die übrigen vier Würfel liegen in den Ebenen <math display="inline">x_1 = \pm \frac{1}{2}</math> und <math display="inline">x_4 = \pm \frac{1}{2}</math>. Sie stellen einen zweiten Würfelring dar.<ref name="Banchoff_2013" details="S. 258." /> In der zellenzentrierten Zentralprojektion besteht er aus dem kleinen Würfel in der Mitte der Projektion, den beiden Pyramidenstümpfen mit horizontal ausgerichteten Grundflächen und dem großen Würfel, der die anderen Würfel umschließt. Die beiden Würfelringe sind im vierdimensionalen Raum disjunkt.
Die Mittelpunkte der Zellen des ersten Würfelrings sind gegeben durch <math display="inline">\frac{1}{2} ( 0, \pm 1, 0, 0 )^\top</math> und <math display="inline">\frac{1}{2} ( 0, 0, \pm 1, 0 )^\top</math>.<ref name="Banchoff_2013" details="S. 263." /> Sie bilden ein Quadrat in der <math>x_2 x_3</math>-Ebene.<ref name="Banchoff_2013" details="S. 260." /> Analog dazu sind die Mittelpunkte der Zellen des zweiten Würfelrings gegeben durch <math display="inline">\frac{1}{2} ( \pm 1, 0, 0, 0 )^\top</math> und <math display="inline">\frac{1}{2} ( 0, 0, 0, \pm 1 )^\top</math>. Sie bilden ein Quadrat in der <math>x_1 x_4</math>-Ebene, die zur ersten Ebene komplett orthogonal ist. Die Quadrate der Zellenmittelpunkte der beiden Würfelringe bilden eine Hopf-Verschlingung.<ref name="Banchoff_2013" details="S. 260." /> Daraus folgt, dass die beiden Würfelringe auch miteinander verschlungen sind. Der Aufbau des 8-Zells aus den zwei Würfelringen stellt daher eine diskrete Version der Hopf-Faserung dar.<ref name="Banchoff_2013" details="S. 264–265." /> Da beide Würfelringe topologische Volltori sind, ist dies analog dazu, dass sich die 3-Sphäre aus zwei kongruenten Volltori zusammensetzen lässt.<ref name="Banchoff_2013" details="S. 263." /><ref name="Toth_2002" details="S. 311–315.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Visualisierung der Konstruktion des 8-Zells aus zwei Würfelringen
Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 8-Zells aus zwei Würfelringen. Es wird eine Zentralprojektion vom Punkt <math display="inline">(x_1, x_2, x_3, x_4)^\top = (0, 0, 0, 1)^\top</math> verwendet. Diese Projektion würde bei zellenzentrierter Koordinatenstellung dazu führen, dass einer der beiden Würfelringe in Projektionsrichtung ausgerichtet wäre. Die Zellenmittelpunkte lägen daher in der Projektion auf einer Geraden und der Ring erschiene als Säule.<ref name="Banchoff_2013" details="S. 260 und Abb. 20.5." /> Daher wird das 8-Zell im vierdimensionalen Raum vor der Projektion um 45° in der <math>x_1 x_4</math>-Ebene gedreht (also um die <math>x_2 x_3</math>-Ebene) und nach der Projektion um −45° um die <math>x</math>-Achse. Um möglichst gut zu veranschaulichen, dass die beiden Ringe eine Hopf-Verschlingung bilden, wird eine Visualisierungstechnik verwendet, die von Thomas Banchoff eingeführt wurde.<ref name="Banchoff_2013" details="S. 266 und Abb. 20.5, 20.6." /> Die Würfel werden in Richtung senkrecht zu ihren Achsen, die durch Kreise durch die jeweiligen Mittelpunkte der Zellen definiert sind, auf 20 Prozent ihrer eigentlichen Größe verkleinert. In Richtung der Achsen behalten sie ihre Originalgröße.
Die beiden Würfelringe werden nacheinander transparent und in unterschiedlichen Farben eingeblendet. Sie rotieren während des gesamten Videos, um ihre Geometrie möglichst gut darzustellen. Zum Ende des Videos werden die Ringe auf ihre tatsächliche Größe gebracht. Dies visualisiert, dass sie aneinander grenzen und den Raum lückenlos ausfüllen. Um das 8-Zell vollständig darstellen zu können, wird es hierzu zunächst im dreidimensionalen Raum geeignet verkleinert. Außerdem wird es im vierdimensionalen Raum und in der Projektion im dreidimensionalen Raum zurück in die zellenzentrierte Lage gedreht.
Schnitte des 8-Zells mit dem dreidimensionalen Raum
Neben den oben zur Visualisierung verwendeten Orthogonal- und Zentralprojektionen ist eine weitere Möglichkeit, die Geometrie des 8-Zells zu veranschaulichen, es mit einem dreidimensionalen Raum, also einer Hyperebene, zu schneiden. Dabei wird das 8-Zell in Richtung senkrecht zur Hyperebene bewegt. Abhängig vom Abstand des Mittelpunktes des 8-Zells von der Hyperebene und von seiner Koordinatenstellung ergeben sich als Schnitte unterschiedliche Polyeder. Ein analoges Vorgehen für Polyeder ist deren Schnitt mit einer Ebene. Wird beispielsweise ein Würfel in eckenzentrierter Stellung mit einer Ebene geschnitten, indem die Ebene entlang einer Eckendiagonalen bewegt wird, entstehen nacheinander ein gleichseitiges Dreieck, das sich vergrößert, ein Sechseck mit zwei unterschiedlichen Seitenlängen, in der Mittelstellung der Ebene ein regelmäßiges Sechseck, ein Sechseck mit zwei unterschiedlichen Seitenlängen und ein gleichseitiges Dreieck, das sich verkleinert.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 236." /> Die Form der Polygone erlaubt Rückschlüsse über die Geometrie des Würfels. Analog dazu erlaubt die Geometrie der Schnittpolyeder Rückschlüsse über die Geometrie des 8-Zells.
Die Schnitte des 8-Zells in allen vier Koordinatenstellungen wurden 1894 umfassend von Pieter Schoute untersucht.<ref name="Schoute_1894_1" />
Die Schnitte des 8-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung sind Würfel, unabhängig von der Position der Hyperebene (sofern die Hyperebene das 8-Zell schneidet).<ref name="Schoute_1894_1" details="S. 4." />
Das erste Video in diesem Abschnitt zeigt die Schnitte des 8-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung. Am Anfang erscheint ein Tetraeder, das sich vergrößert. Es entsteht durch den Schnitt der vier um eine Ecke gruppierten Würfel mit der Hyperebene und entspricht damit der Eckfigur des 8-Zells. In der zweiten Phase werden die Ecken des Tetraeders durch die Bewegung der Hyperebene abgestumpft zu einem unregelmäßigen Tetraederstumpf. In der Mitte dieser Phase entsteht für einen Moment ein regelmäßiger Tetraederstumpf. In der Mittelstellung der Hyperebene entsteht für einen Augenblick ein Oktaeder. Danach entwickelt sich das Oktaeder über einen Tetraederstumpf zurück zu einem Tetraeder, das sich verkleinert und am Ende des Videos verschwindet.
Das zweite Video in diesem Abschnitt zeigt die Schnitte des 8-Zells in kantenzentrierter Koordinatenstellung. Die Schnittpolyeder sind Prismen, deren Grund- und Deckflächen Dreiecke oder Sechsecke sind, die den oben beschriebenen Schnitten des Würfels mit einer Ebene in einer eckenzentrierten Koordinatenstellung entsprechen.
Die oben beschriebenen Schnitte des 8-Zells als Tetraeder, Tetraederstumpf und Oktaeder in eckenzentrierter Koordinatenstellung und als dreieckiges und sechseckiges Prisma in kantenzentrierter Koordinatenstellung wurden bereits 1894 von Schoute gezeichnet.<ref name="Schoute_1894_1" details="Abb. 1–4." />
Symmetrien des 8-Zells
Die Symmetriegruppe des 8-Zells wird mit <math>[3,3,4]</math>, <math>[4,3,3]</math> oder <math>B_4</math> bezeichnet.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 149." /><ref name="Coxeter_1985_2" details="S. 564.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Sie ist gleichzeitig die Symmetriegruppe des zum 8-Zell dualen 16-Zells <math>\{3,3,4\}</math>. Ihre Gruppenordnung ist 384. Es gibt also 384 vierdimensionale Kongruenzabbildungen, die das 8-Zell mit sich selbst zur Deckung bringen. Davon sind 192 vierdimensionale Drehungen und 192 vierdimensionale Drehspiegelungen.<ref name="Schoute_1905" details="S. 236–238." /> Die 192 Drehungen bilden eine Untergruppe von <math>[3,3,4]</math>, die mit <math>[3,3,4]^+</math> oder <math>[4,3,3]^+</math> bezeichnet wird.
Die endlichen durch Spiegelungen erzeugten Gruppen des vierdimensionalen euklidischen Raums, inklusive der Gruppe <math>[3,3,4]</math>, wurden erstmals 1889 von Édouard Goursat beschrieben.<ref name="Goursat_1889" details="S. 85–86.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Coxeter_1973" details="S. 209." /> Die in ihr enthaltenen Drehungen wurden 1894 von Salomon Levi van Oss anhand des 16-Zells klassifiziert und vollständig aufgelistet.<ref name="Van_Oss_1894" details="S. 16–26.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Charakteristisches Simplex des 8-Zells
Die Symmetriegruppe <math>[3,3,4]</math> definiert ein charakteristisches Simplex des 8-Zells.<ref name="Toth_1965" details="S. 132.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Dieses ist ein Tetraeder, dessen Ecken durch eine Ecke <math>O_0</math> des 8-Zells, den Mittelpunkt <math>O_1</math> einer an <math>O_0</math> angrenzenden Kante, den Mittelpunkt <math>O_2</math> einer an <math>O_1</math> angrenzenden Fläche und den Mittelpunkt <math>O_3</math> einer an <math>O_2</math> angrenzenden Zelle gegeben sind. Das charakteristische Simplex wird durch folgende Parameter beschrieben (hierbei ist <math>\{p,q,r\} = \{4,3,3\}</math>):<ref name="Coxeter_1973" details="S. 130, 137–141." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. 290–293." />
- den Winkel <math>\phi</math> zwischen einer Geraden vom Mittelpunkt <math>O_4</math> des 8-Zells durch eine Ecke <math>O_0</math> und einer Geraden von <math>O_4</math> durch <math>O_1</math>;
- den Winkel <math>\chi</math> zwischen einer Geraden von <math>O_4</math> durch <math>O_0</math> und einer Geraden von <math>O_4</math> durch <math>O_3</math>;
- den Winkel <math>\psi</math> zwischen einer Geraden von <math>O_4</math> durch <math>O_3</math> und einer Geraden von <math>O_4</math> durch <math>O_2</math>;
- den Diederwinkel <math>\pi/p = 45^\circ</math>, der an der Kante <math>O_2 O_3</math> durch die Hyperebenen <math>O_0 O_2 O_3 O_4</math> und <math>O_1 O_2 O_3 O_4</math> gebildet wird;
- den Diederwinkel <math>\pi/q = 60^\circ</math>, der an der Kante <math>O_0 O_3</math> durch die Hyperebenen <math>O_0 O_1 O_3 O_4</math> und <math>O_0 O_2 O_3 O_4</math> gebildet wird; und
- den Diederwinkel <math>\pi/r = 60^\circ</math>, der an der Kante <math>O_0 O_1</math> durch die Hyperebenen <math>O_0 O_1 O_2 O_4</math> und <math>O_0 O_1 O_3 O_4</math> gebildet wird.
Die Diederwinkel an den anderen drei Kanten sind rechte Winkel.
Das charakteristische Simplex kann auf die Einheitssphäre projiziert werden. Die projizierten Punkte <math>P_0</math>, <math>P_1</math>, <math>P_2</math> und <math>P_3</math> definieren ein sphärisches Simplex, das auch als charakteristisches Simplex bezeichnet wird. Die Kanten des sphärischen Simplexes sind Großkreisbögen. Die Winkel <math>\phi</math>, <math>\chi</math> und <math>\psi</math> sind dann die Längen der Großkreisbögen <math>P_0 P_1</math>, <math>P_0 P_3</math> und <math>P_3 P_2</math>.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 137–141." />
Das charakteristische Simplex stellt den Fundamentalbereich der Symmetriegruppe <math>[3,3,4]</math> dar. Es ist das Analogon des Fundamentalbereichs eines platonischen Körpers, der durch ein rechtwinkliges euklidisches oder sphärisches Dreieck definiert wird.
Die Symmetriegruppe <math>[3,3,4]</math> wird durch Spiegelungen in den vier Hyperebenen <math>O_4 O_0 O_1 O_2</math>, <math>O_4 O_0 O_1 O_3</math>, <math>O_4 O_0 O_2 O_3</math> und <math>O_4 O_1 O_2 O_3</math> erzeugt.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 187–188." /> Durch Anwendung aller 384 Symmetrieoperationen der Gruppe wird das 8-Zell vollständig durch die charakteristischen Simplexe aufgebaut. Jeder seiner Würfel besteht aus 48 charakteristischen Simplexen.
Darstellung der Symmetriegruppe des 8-Zells durch die Ecken von sechs 16-Zellen
Die Ecken von sechs 16-Zellen stellen als Einheitsquaternionen interpretiert die Symmetriegruppe des 16-Zells dar. Diese Repräsentation ist im Artikel über das 16-Zell im Abschnitt Darstellung der Symmetriegruppe des 16-Zells durch die Ecken von sechs 16-Zellen genauer beschrieben. Daher stellen die Ecken der sechs 16-Zelle auch die Symmetriegruppe des 8-Zells dar.
Geometrische Parameter des 8-Zells
| Parameter | Wert |
|---|---|
| <math>\phi</math> | <math display="inline">\frac{1}{6}\pi = 30^\circ</math> |
| <math>\chi</math> | <math display="inline">\frac{1}{3}\pi = 60^\circ</math> |
| <math>\psi</math> | <math display="inline">\frac{1}{4}\pi = 45^\circ</math> |
| <math>\pi - 2\psi</math> | <math display="inline">90^\circ</math> |
| <math>R_0 / l</math> | <math display="inline">2</math> |
| <math>R_1 / l</math> | <math display="inline">3^{1/2}</math> |
| <math>R_2 / l</math> | <math display="inline">2^{1/2} </math> |
| <math>R_3 / l</math> | <math display="inline">1</math> |
| <math>S / (2l)^3</math> | <math display="inline">8</math> |
| <math>C / (2l)^4</math> | <math display="inline">1</math> |
Die nebenstehende Tabelle gibt die wichtigsten geometrischen Parameter des 8-Zells an.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 290–293." /> Dabei bezeichnen <math>\phi</math>, <math>\chi</math> und <math>\psi</math>, wie im Abschnitt Charakteristisches Simplex des 8-Zells beschrieben, die Winkel, die die Endpunkte der Kanten <math>O_0 O_1</math>, <math>O_0 O_3</math> und <math>O_2 O_3</math> mit dem Mittelpunkt des 16-Zells bilden.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 130, 137–141." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. 290–293." /> Der Winkel <math>\phi</math> erlaubt es, aus <math>l</math>, der halben Kantenlänge des 8-Zells, seinen Umkugelradius <math>R_0</math> zu bestimmen: <math>R_0 = l / \sin \phi</math>.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 133." /> Der Winkel <math>\psi</math> erlaubt es, den Diederwinkel, also den Winkel zwischen den Hyperebenen, in denen zwei angrenzende Zellen liegen, zu bestimmen. Dieser ist gegeben durch <math>\pi - 2\psi</math>.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 133." />
Die Längen- und Volumenparameter in der Tabelle werden in Bezug auf die halbe Kantenlänge <math>l</math> angegeben. Der Umkugelradius des 8-Zells wird mit <math>R_0</math> bezeichnet. Die Umkugel verläuft durch die Ecken des 8-Zells. Mit <math>R_1</math> wird der Radius der Kantenkugel bezeichnet. Sie berührt die Mittelpunkte der Kanten des 8-Zells. Der Parameter <math>R_2</math> bezeichnet den Radius der Flächenkugel. Diese berührt die Mittelpunkte der Flächen des 8-Zells. Schließlich bezeichnet <math>R_3</math> den Radius der Inkugel des 8-Zells, also der Kugel, die die Mittelpunkte der Zellen berührt.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 290–293." /> Die Summe der dreidimensionalen Volumen der Zellen wird mit <math>S</math> bezeichnet. Sie ist das Analogon des Oberflächeninhalts eines Polyeders. Das vierdimensionale Volumen des 8-Zells wird mit <math>C</math> bezeichnet. Es ist das Analogon des Volumens eines Polyeders.
Um die Werte der Längen- und Volumenparameter für die oben angegebenen Konstruktionen des 8-Zells zu erhalten, die auf einer 3-Sphäre vom Radius <math>R_0 = 1</math> liegen, muss <math display="inline">l = \frac{1}{2}</math> verwendet werden.
Netze des 8-Zells
4-Polytope können analog zu Polyedern zu Netzen aufgefaltet werden. Hierbei wird das Polytop an einer geeigneten Menge von Flächen aufgeschnitten. Die noch über Flächen verbundenen Polyeder werden um die Ebene der jeweiligen Verbindungsfläche gedreht, so dass alle Polyeder in derselben dreidimensionalen Hyperebene zu liegen kommen. Der so entstehende Verbund von Polyedern wird Netz oder Auffaltung genannt.
Das 8-Zell hat 261 inkongruente Netze.<ref name="Buekenhout_1998" details="S. 81.">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die nebenstehende Abbildung zeigt das bekannteste dieser Netze. Es besteht aus einem Würfel, bei dem an fünf Flächen jeweils ein Würfel angebracht ist. An der sechsten Fläche sind zwei übereinander gestapelte Würfel angebracht. Dieses Netz wurde von Salvador Dalí in seinem Gemälde Crucifixion (Corpus Hypercubus) verwendet, um eine Interpretation der Kreuzigung von Jesus Christus darzustellen.
Alle Netze der fünf platonischen Körper sind nicht-überlappend: ihre Flächen lassen sich immer in die Ebene auffalten, ohne sich gegenseitig zu überlappen.<ref name="Horiyama_2011">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Für das 8-Zell gilt dasselbe: alle seine Netze sind nicht-überlappend.<ref name="DeSplinter_2020">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Einbeschriebene Polytope
Das 16-Zell lässt sich in das 8-Zell einbeschreiben.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 305." /> Dies ist aus den im Abschnitt Koordinatenstellungen des 8-Zells angegebenen Koordinaten ersichtlich: der erste Satz an Koordinaten sind die Ecken eines 16-Zells. Die Ecken der einbeschriebenen Polytope bilden eine Untermenge der Ecken des 8-Zells. Umgekehrt kann das 8-Zell in das 24-Zell, das 120-Zell und das 600-Zell einbeschrieben werden.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 305." /> Da die einbeschriebenen Polytope weniger Ecken haben als das Polytop selbst, können mehrere gleichzeitig einbeschrieben werden, so dass sie dessen Ecken vollständig abdecken oder sogar mehrmals überdecken. In diesem Fall entsteht ein regulär zusammengesetztes 4-Polytop, in dem sich die einbeschriebenen Polytope gegenseitig kreuzen. Analoge Konstruktionen existieren für Polyeder im dreidimensionalen Raum, beispielsweise das zusammengesetzte Polyeder aus fünf sich kreuzenden Tetraedern oder das zusammengesetzte Polyeder aus zehn sich kreuzenden Tetraedern.
Um die regulär zusammengesetzten 4-Polytope zu beschreiben, hat Coxeter eine Erweiterung des Schläfli-Symbols eingeführt. Es gibt an, wie viele Polytope einer bestimmten Art in ein anderes Polytop einbeschrieben werden können und wie oft sie dessen Ecken überdecken. Außerdem gibt es an, in welchen Hyperebenen eines weiteren Polytops die Zellen des einbeschriebenen Polytops liegen und wie oft diese Hyperebenen überdeckt werden. Für das 8-Zell existiert das folgende regulär zusammengesetzte Polytop:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 305." />
- <math>\left\{4,3,3\right\} \, {[ 2 \left\{3,3,4\right\} ]}</math>: in das 8-Zell können zwei sich kreuzende 16-Zelle <math>\left\{3,3,4\right\}</math> einbeschrieben werden; die Zellen der 16-Zelle liegen nicht in den Hyperebenen eines regulären Polytops, weswegen der rechte Teil des Schläfli-Symbols fehlt.
Außerdem existieren unter anderem folgende Einbeschreibungen des 8-Zells:<ref name="Coxeter_1973" details="S. 305." />
- <math>2 \left\{3,4,3\right\} \, {[ 3 \left\{4,3,3\right\} ]} \, \left\{3,4,3\right\}</math>: in das 24-Zell <math>\left\{3,4,3\right\}</math> können drei sich kreuzende 8-Zelle einbeschrieben werden, dessen Ecken sie zweifach überdecken; ihre Zellen liegen in den Hyperebenen eines 24-Zells.
- <math>2 \left\{3,3,5\right\} \, {[ 15 \left\{4,3,3\right\} ]} \, \left\{5,3,3\right\}</math>: in das 600-Zell <math>\left\{3,3,5\right\}</math> können 15 sich kreuzende 8-Zelle einbeschrieben werden, dessen Ecken sie zweifach überdecken; ihre Zellen liegen in den Hyperebenen eines 120-Zells <math>\left\{5,3,3\right\}</math>.
- <math>2 \left\{5,3,3\right\} \, {[ 75 \left\{4,3,3\right\} ]} \, \left\{3,3,5\right\}</math>: in das 120-Zell <math>\left\{5,3,3\right\}</math> können 75 sich kreuzende 8-Zelle einbeschrieben werden, dessen Ecken sie zweifach überdecken; ihre Zellen liegen in den Hyperebenen eines 600-Zells <math>\left\{3,3,5\right\}</math>.
Insgesamt existieren 52 regulär zusammengesetzte 4-Polytope. Von diesen hat Coxeter 46 angegeben.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 267–272." /><ref name="Coxeter_1973" details="S. 305." /> Er schreibt elf davon Pieter Schoute und eines Auguste Urech zu.<ref name="Coxeter_1973" details="S. 287." /> Peter McMullen hat weitere sechs gefunden und bewiesen, dass die Aufzählung damit vollständig ist.<ref name="McMullen_2018">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Das 8-Zell kommt bei einem regulär zusammengesetzten 4-Polytop als Polytop, in das einbeschrieben wird, vor. Bei sieben weiteren ist es das Polytop, das einbeschrieben wird.
Tesserakt in der Kultur
Literatur
- Ein Gebäude in der Form eines Tesserakts liegt der Science-Fiction-Kurzgeschichte von Robert Heinlein —And He Built a Crooked House— aus dem Jahr 1941 zugrunde.
- In dem Roman Die Zeitfalte von Madeleine L’Engle erlaubt die Methode der „Tesserung“ (im Original Tesseract) das Reisen über weite Entfernungen durch Raum und Zeit.
- Im Marvel-Comics-Universum ist ein mächtiger, kosmischer Würfel nach dem Tesserakt benannt. Abgesehen von der Form und dem Namen hat dieser Gegenstand nichts mit dem oben erklärten Tesserakt gemeinsam. In der filmischen Adaption des Universums tritt der Tesserakt mehrfach auf.
Film
- Im Film Interstellar befindet sich der Hauptcharakter zum Ende der Handlung im Innern des Ereignishorizonts einer Singularität in einem Raum, in dem die Zeit als vierte Raumdimension erscheint, dieser Raum erscheint optisch als dreidimensionale Projektion eines Tesserakts und wird auch als solcher bezeichnet.
- Der Tesserakt spielt eine große Rolle im Film Cube 2: Hypercube sowie in der Fernsehserie Gene Roddenberry's Andromeda.
Musik
- Die britische Progressive-Metal-Band Tesseract benannte sich nach dem Tesserakt.
Weblinks
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- Sections in 4D regular polytopes Webseite mit einer CindyJS-Applikation, mit der dreidimensionale Schnitte der sechs regulären konvexen 4-Polytope in den vier Koordinatenstellungen visualisiert werden können.
- XScreenSaver XScreenSaver enthält ein Modul, das die regulären konvexen 4-Polytope anzeigt.
- Darstellung von Schrägbildern, Zentralprojektionen, Netzen und Schnitten eines Tesserakts
- Crucifixion (Corpus Hypercubus) von Salvador Dalí
Einzelnachweise
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