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Integralzeichen

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
{{#if:∫|
∫

}}

Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen +
Minuszeichen −, ⁒
Malzeichen ⋅, ×
Geteiltzeichen :, ÷, /
Plusminuszeichen ±, ∓
Vergleichszeichen <, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen √
Prozentzeichen %
Analysis
Summenzeichen Σ
Produktzeichen Π
Differenzzeichen, Nabla ∆, ∇
Prime ′
Partielles Differential ∂
Integralzeichen ∫
Verkettungszeichen ∘
Unendlichzeichen ∞
Geometrie
Winkelzeichen ∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel ⊥, ∥
Dreieck, Viereck △, □
Durchmesserzeichen ⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt ∪, ∩
Differenz, Komplement ∖, ∁
Elementzeichen ∈
Teilmenge, Obermenge ⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge ∅
Logik
Folgepfeil ⇒, ⇔, ⇐
Allquantor ∀
Existenzquantor ∃
Konjunktion, Disjunktion ∧, ∨
Negationszeichen ¬

Das Integralzeichen <math>\textstyle \int</math> ist aus dem Buchstaben langes s („ſ“) als Abkürzung für das Wort Summe, lateinisch ſumma, entstanden. Diese symbolische Schreibweise von Integralen geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz zurück. Für das Integralzeichen gibt es eine Reihe von Abwandlungen, unter anderem für Mehrfachintegrale, Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale und Volumenintegrale.

Geschichte

Leibniz erwähnte in einem später veröffentlichten Manuskript {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} vom 29. Oktober 1675 erstmals das Integralzeichen.<ref>{{ #if:Carl von Prantl|Carl von Prantl: |}}{{ #if:ADB:Leibniz, Gottfried Wilhelm|{{ #if:Leibniz, Gottfried Wilhelm|Leibniz, Gottfried Wilhelm|Integralzeichen }}|{{#ifeq: {{#switch: 18 | 1=08359 | 2=08360 | 3=08361 | 4=08362 | 5=08363 | 6=08364 | 7=08365 | 8=08366 | 9=08367 | 10=08368 | 11=08369 | 12=08370 | 13=08371 | 14=08372 | 15=08373 | 16=08374 | 17=08375 | 18=08376 | 19=08377 | 20=08378 | 21=08379 | 22=08380 | 23=08381 | 24=08382 | 25=08383 | 26=08384 | 27=08385 | 28=08386 | 29=08387 | 30=08388 | 31=08389 | 32=08390 | 33=08391 | 34=08392 | 35=08393 | 36=08394 | 37=08395 | 38=08396 | 39=08397 | 40=08398 | 41=08399 | 42=08400 | 43=08401 | 44=08402 | 45=08403 | 46=08404 | 47=08405 | 48=08406 | 49=08407 | 50=08408 | 51=08409 | 52=08410 | 53=08411 | 54=08412 | 55=08413 | 56=00000 | #default = 0 }} | 0 | {{ #if:Leibniz, Gottfried Wilhelm|Leibniz, Gottfried Wilhelm|Integralzeichen }} | [https://daten.digitale-sammlungen.de/~db/bsb000{{#switch: 18 | 1=08359 | 2=08360 | 3=08361 | 4=08362 | 5=08363 | 6=08364 | 7=08365 | 8=08366 | 9=08367 | 10=08368 | 11=08369 | 12=08370 | 13=08371 | 14=08372 | 15=08373 | 16=08374 | 17=08375 | 18=08376 | 19=08377 | 20=08378 | 21=08379 | 22=08380 | 23=08381 | 24=08382 | 25=08383 | 26=08384 | 27=08385 | 28=08386 | 29=08387 | 30=08388 | 31=08389 | 32=08390 | 33=08391 | 34=08392 | 35=08393 | 36=08394 | 37=08395 | 38=08396 | 39=08397 | 40=08398 | 41=08399 | 42=08400 | 43=08401 | 44=08402 | 45=08403 | 46=08404 | 47=08405 | 48=08406 | 49=08407 | 50=08408 | 51=08409 | 52=08410 | 53=08411 | 54=08412 | 55=08413 | 56=00000 | #default = 0 }}/images/index.html?seite={{#switch: 18 | 1={{ #expr: 172 + 16 }} | 2={{ #expr: 172 + 2 }} | 3={{ #expr: 172 + 2 }} | 4={{ #expr: 172 + 2 }} | 5={{ #expr: 172 + 2 }} | 6={{ #expr: 172 + 2 }} | 7={{ #expr: 172 + 2 }} | 8={{ #expr: 172 + 2 }} | 9={{#switch: 172 | 448a=451 | 448b=452 | 448c=453 | 448d=454 | 448e=455 | 448f=456 | 448g=457 | 448h=458 | 448i=459 | 448k=460 | 448l=461 | 448m=462 | 448n=463 | 448o=464 | 448p=465 | 448q=466 | 448r=467 | 448s=468 | 448t=469 | 448u=470 | #default = {{ #ifexpr: 172 < 449 | {{ #expr: 172 + 2 }} | {{ #expr: 172 + 22 }} }} }} | 10={{ #expr: 172 + 2 }} | 11={{ #expr: 172 + 2 }} | 12={{ #expr: 172 + 2 }} | 13={{ #expr: 172 + 2 }} | 14={{ #expr: 172 + 2 }} | 15={{ #expr: 172 + 2 }} | 16={{ #expr: 172 + 2 }} | 17={{ #expr: 172 + 2 }} | 18={{ #expr: 172 + 2 }} | 19={{ #expr: 172 + 2 }} | 20={{ #expr: 172 + 2 }} | 21={{ #expr: 172 + 2 }} | 22={{ #expr: 172 + 2 }} | 23={{ #expr: 172 + 2 }} | 24={{ #expr: 172 + 2 }} | 25={{ #expr: 172 + 2 }} | 26={{ #expr: 172 + 2 }} | 27={{ #expr: 172 + 2 }} | 28={{ #expr: 172 + 2 }} | 29={{ #expr: 172 + 2 }} | 30={{ #expr: 172 + 2 }} | 31={{ #expr: 172 + 2 }} | 32={{ #expr: 172 + 2 }} | 33={{ #expr: 172 + 2 }} | 34={{ #expr: 172 + 2 }} | 35={{ #expr: 172 + 2 }} | 36={{ #expr: 172 + 2 }} | 37={{ #expr: 172 + 2 }} | 38={{ #expr: 172 + 2 }} | 39={{ #expr: 172 + 2 }} | 40={{ #expr: 172 + 2 }} | 41={{ #expr: 172 + 2 }} | 42={{ #expr: 172 + 2 }} | 43={{ #expr: 172 + 2 }} | 44={{ #expr: 172 + 2 }} | 45={{ #expr: 172 + 6 }} | 46={{ #expr: 172 + 2 }} | 47={{ #expr: 172 + 2 }} | 48={{ #expr: 172 + 2 }} | 49={{ #expr: 172 + 2 }} | 50={{ #expr: 172 + 2 }} | 51={{ #expr: 172 + 2 }} | 52={{ #expr: 172 + 2 }} | 53={{ #expr: 172 + 2 }} | 54={{ #expr: 172 + 2 }} | 55={{ #expr: 172 + 3 }} | 56=172 | #default = 172 }} {{ #if:Leibniz, Gottfried Wilhelm|Leibniz, Gottfried Wilhelm|Integralzeichen }}] }} }}{{#ifeq:Vorlage:Str rightc|.||.}} In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). 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{{#ifeq: {{{vor}}}@@-@@{{{nach}}} | -@@-@@- | {{#if:trim|{{#invoke:Vorlage:lang|flat}}}} | {{#ifeq: {{#if:|{{{vor}}}|@#@}}{{#if:|{{{nach}}}|@#@}} | @#@@#@ | {{#ifeq: de | de | „{{#if:trim|{{#invoke:Vorlage:lang|flat}}}}“ | {{#invoke:Text|quoteUnquoted| {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} | {{{lang}}} }} }} | {{#ifeq: {{#if:|{{{vor}}}|-}} | - | „ | {{{vor}}} }}{{#if:trim|{{#invoke:Vorlage:lang|flat}}}}{{ #ifeq: {{#if:|{{{nach}}}|-}} | - | “ | {{{nach}}} }} }} }}{{ #if: Es wird nützlich sein, ∫ für omnia zu schreiben || }}

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„{{{Latn}}}“{{#if: Es wird nützlich sein, ∫ für omnia zu schreiben || }}

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„Es wird nützlich sein, ∫ für omnia zu schreiben“{{#if: || }}

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}}

{{#invoke:Vorlage:lang|flat}} steht dabei für omnia l und wird in dem geometrisch orientierten Flächenberechnungsverfahren von Bonaventura Cavalieri verwendet. Die zugehörige gedruckte Veröffentlichung Leibniz’ ist {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} (lat. für „Über eine verborgene Geometrie und die Analyse des Unteilbaren und des Unendlichen“), aus dem Jahr 1686. Damals nannte er die Integralrechnung noch {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}, deshalb das lange S. Auch Johann I Bernoulli beschäftigte sich zu der Zeit mit dem Thema, und da Leibniz einheitliche wissenschaftliche Zeichen anstrebte, diskutierten sie darüber. So blieb das Zeichen von Leibniz und der Name {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}, Integralrechnung, von Bernoulli.<ref>Alfred Warner, Historisches Wörterbuch der Elektrotechnik, Informationstechnik und Elektrophysik</ref>

Verwendung

Das Integral einer reellen Funktion <math>f</math> bezüglich der Variablen <math>x</math> über das Intervall <math>[a,b]</math> wird durch

<math>\int\limits_a^b f(x)\;\mathrm dx </math>

notiert. Die multiplikativ zu lesende Notation <math>f(x)\;\mathrm{d}x </math> deutet dabei an, wie sich die Integraloperation aus Streifen der Höhe <math> f(x) </math> und der infinitesimalen Breite <math> \mathrm{d}x </math> zur Fläche unter der Funktion summiert.

Traditionen des Formelsatzes

In den verschiedenen Traditionen des Formelsatzes haben sich leicht unterschiedliche Formen des Integralzeichens eingebürgert. Im amerikanischen und sonstigen englischsprachigen Raum ist das Integralzeichen nach vorne geneigt. Im deutschen Formelsatz wird eine Variante verwendet, bei der der Steg vertikal ist. Im russischsprachigen/osteuropäischen Raum hat sich eine Formvariante etabliert in der das Integralzeichen nach hinten geneigt ist.<ref>Zaitcev, V.; Janishewsky, A.; Berdnikov, A. (1999), Russian Typographical Traditions in Mathematical Literature. EuroTeX'99 Proceedings (<templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20120928083018 

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      }}
  }}
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          | {{#iferror: {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}}
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       | 9 = {{#if: Online | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Online}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.uni-giessen.de/partosch/eurotex99/zaitsev.pdf}} }} {{#ifeq:  | [] | [ | ( }}Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{#invoke:Expr|base62|{{{webciteID}}}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if:  | ;  }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
       | #default= Der Wert des Parameters {{#if: webciteID | webciteID | ID }} muss entweder ein Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS oder ein Schüsselwert mit 9 Zeichen oder eine 16-stellige Zahl sein!Vorlage:Webarchiv/Wartung/webcitation{{#if:  || }}
      }}
    | c|{{{webciteID}}}}} {{#if: Online | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Online}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.uni-giessen.de/partosch/eurotex99/zaitsev.pdf}} }} (Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}} auf WebCite{{#if:  | ;  }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
  }}
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                 }}}}}}}}{{#if:
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            }} 
       }}
  }}; PDF; 200 kB)</ref>

Außerdem werden im amerikanischen Satz in Textformeln die oberen und unteren Grenzen rechts des Integralzeichens angeordnet, um störende Zeilenabstände einzuschränken,

<math>\int_0^T f(t)\;\mathrm dt,</math>

während in deutscher Tradition

<math>\int\limits_0^T f(t)\;\mathrm dt</math>

üblich ist. Auch sind Integrale in Textformeln immer kleiner als in abgesetzten Formeln.

Kodierung

Das Integralzeichen und seine Abwandlungen werden in Computersystemen folgendermaßen kodiert.

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX
Zeichen Unicode Bezeichnung HTML LaTeX<ref name="LATEX">Vorlage:LaTeX Symbol List</ref>
Position Bezeichnung hexadezimal dezimal benannt
∫ U+222B {{#if:integral | integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Integral &#x222B; &#8747; &int; \int
∬ U+222C {{#if:double integral | double integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Doppelintegral &#x222C; &#8748; \iint
∭ U+222D {{#if:triple integral | triple integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Dreifachintegral &#x222D; &#8749; \iiint
∮ U+222E {{#if:contour integral | contour integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Kurvenintegral &#x222E; &#8750; \oint
∯ U+222F {{#if:surface integral | surface integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Oberflächenintegral &#x222F; &#8751; \oiint
∰ U+2230 {{#if:volume integral | volume integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Volumenintegral &#x2230; &#8752; \oiiint
∱ U+2231 {{#if:clockwise integral | clockwise integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} rechtsläufiges Integral &#x2231; &#8753; \intclockwise
∲ U+2232 {{#if:clockwise contour integral | clockwise contour integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} rechtsläufiges Kurvenintegral &#x2232; &#8754; \ointclockwise
∳ U+2233 {{#if:anticlockwise contour integral | anticlockwise contour integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} linksläufiges Kurvenintegral &#x2233; &#8755; \ointctrclockwise
⌠ U+2320 {{#if:top half integral | top half integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} obere Hälfte eines Integrals &#x2320; &#8992;
⌡ U+2321 {{#if:bottom half integral | bottom half integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} untere Hälfte eines Integrals &#x2321; &#8993;
⎮ U+23AE {{#if:integral extension | integral extension | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Erweiterung eines Integrals &#x23AE; &#9134;
⨋ U+2A0B {{#if:summation with integral | summation with integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Integralsumme &#x2A0B; &#10763; \sumint
⨌ U+2A0C {{#if:quadruple integral operator | quadruple integral operator | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Vierfachintegral &#x2A0C; &#10764; \iiiint
⨍ U+2A0D {{#if:finite part integral | finite part integral | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Integral mit endlichem Teil &#x2A0D; &#10765; \dashint
⨎ U+2A0E {{#if:integral with double stroke | integral with double stroke | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Integral mit Doppelstrich &#x2A0E; &#10766; \ddashint
⨏ U+2A0F {{#if:integral average with slash | integral average with slash | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Mittelwertintegral mit Querstrich &#x2A0F; &#10767; \strokedint
⨑ U+2A11 {{#if:anticlockwise integration | anticlockwise integration | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} linksläufiges Integral &#x2A11; &#10769; \intctrclockwise
⨕ U+2A15 {{#if:integral around a point operator | integral around a point operator | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Integral um einen Punkt &#x2A15; &#10773;
⨖ U+2A16 {{#if:quaternion integral operator | quaternion integral operator | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Quaternionenintegral &#x2A16; &#10774; \sqint
⨗ U+2A17 {{#if:integral with leftwards arrow with hook | integral with leftwards arrow with hook | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Integral mit Linkspfeil mit Haken &#x2A17; &#10775;
⨘ U+2A18 {{#if:integral with times sign | integral with times sign | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Integral mit Malzeichen &#x2A18; &#10776;
⨙ U+2A19 {{#if:integral with intersection | integral with intersection | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Integral mit Durchschnitt &#x2A19; &#10777; \landdownint
⨚ U+2A1A {{#if:integral with union | integral with union | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Integral mit Vereinigung &#x2A1A; &#10778; \landupint
⨛ U+2A1B {{#if:integral with overbar | integral with overbar | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Integral mit Überstrich &#x2A1B; &#10779;
⨜ U+2A1C {{#if:integral with underbar | integral with underbar | Vorlage:Kapitälchen – Text fehlt}} Integral mit Unterstrich &#x2A1C; &#10780;

Weblinks

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|X|x= |0|-= |S|s= – Sammlung von Bildern |1|= – Sammlung von Bildern{{#if: 

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Einzelnachweise

<references/>

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