Verkettungszeichen

{{#if: behandelt das Verkettungszeichen als mathematischen Operator, für das Pipe-Symbol in der EDV siehe senkrechter Strich.

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}}

{{#if:∘|

∘ }}
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen	+
Minuszeichen	−, ⁒
Malzeichen	⋅, ×
Geteiltzeichen	:, ÷, /
Plusminuszeichen	±, ∓
Vergleichszeichen	<, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen	√
Prozentzeichen	%
Analysis
Summenzeichen	Σ
Produktzeichen	Π
Differenzzeichen, Nabla	∆, ∇
Prime	′
Partielles Differential	∂
Integralzeichen	∫
Verkettungszeichen	∘
Unendlichzeichen	∞
Geometrie
Winkelzeichen	∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel	⊥, ∥
Dreieck, Viereck	△, □
Durchmesserzeichen	⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt	∪, ∩
Differenz, Komplement	∖, ∁
Elementzeichen	∈
Teilmenge, Obermenge	⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge	∅
Logik
Folgepfeil	⇒, ⇔, ⇐
Allquantor	∀
Existenzquantor	∃
Konjunktion, Disjunktion	∧, ∨
Negationszeichen	¬

Das Verkettungszeichen (<math>\circ</math>), auch als Kreisoperator bezeichnet, Sprechweise auch Kringel, ist ein mathematisches Zeichen, das die Verkettung zweier Funktionen, Relationen oder Wörter ausdrückt. Besteht keine Verwechslungsgefahr mit der Multiplikation, wird es oft auch weggelassen.

Verwendung

Verkettung von Funktionen

Das Verkettungszeichen wird häufig als mathematischer Operator für die Hintereinanderausführung von Funktionen verwendet. Sind <math>A, B, C</math> Mengen und <math>f \colon A \to B</math> sowie <math>g \colon B \to C</math> Funktionen, dann wird die Verkettung von <math>f</math> und <math>g</math> durch

<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math>

notiert. Der Ausdruck „<math>g \circ f</math>“ wird als „<math>g</math> verknüpft mit <math>f</math>“, „<math>g</math> komponiert mit <math>f</math>“, „<math>g</math> nach <math>f</math>“ oder „<math>g</math> Kringel <math>f</math>“ gelesen.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Bei der Notation ist darauf zu achten, dass die Komposition <math>g \circ f</math> von rechts nach links durchgeführt wird, das heißt erst <math>f</math> und dann <math>g</math> angewandt wird. Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und <math>(f \circ g)(x) = g(f(x))</math> geschrieben.

Verkettung von Relationen

Allgemeiner wird das Verkettungszeichen als Operator für die Verkettung binärer Relationen verwendet. Sind wieder <math>A, B, C</math> Mengen und <math>R \subseteq A \times B</math> sowie <math>S \subseteq B \times C</math> binäre Relationen, dann wird die Verkettung von <math>R</math> und <math>S</math> durch

<math>S \circ R = \{ (a,c) \in A \times C \mid \exists ~ b \in B: (a,b) \in R \land (b,c) \in S \}</math>

notiert. Das Resultat nennt man Relationsprodukt oder relatives Produkt. Auch hier wird gelegentlich die umgekehrte Reihung <math>R \circ S</math> verwendet.

Verkettung von Wörtern

In der theoretischen Informatik wird das Verkettungszeichen für die Konkatenation von Wörtern verwendet. Sind <math>x = (x_1, x_2, \dotsc, x_n)</math> und <math>y = (y_1, y_2, \dotsc, y_k)</math> zwei Wörter über einem Alphabet, dann wird die Konkatenation von <math>x</math> und <math>y</math> durch

<math>x \circ y = (x_1, x_2, \dotsc, x_n, y_1, y_2, \dotsc, y_k)</math>

notiert. Hierbei ist <math>x</math> das Präfix und <math>y</math> das Suffix des Resultats der Konkatenation. Die Konkatenation von Wörtern ist dabei ein Spezialfall einer Konkatenation von Mengen.

Binäre Verknüpfungen

Noch allgemeiner wird das Verkettungszeichen manchmal neben den Zeichen <math>\bullet</math>, <math>\ast</math> und <math>\cdot</math> als Platzhalter für binäre Verknüpfungen allgemeiner algebraischer Strukturen eingesetzt.

Darstellung auf dem Computer

Kodierung

Das Verkettungszeichen wird folgendermaßen definiert und kodiert:

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX

Zeichen	Unicode		Bezeichnung	HTML			LaTeX
	Position	Bezeichnung		hexadezimal	dezimal	benannt
∘	U+2218	{{#if:ring operator | ring operator | }}	Kreisoperator	∘	∘		\circ

Ähnliche Zeichen

Ähnliche und verwandte Zeichen –
mit folgenden Zeichen besteht zum Teil Verwechslungsgefahr

Zeichen	Unicode		Name
	Position	Bezeichnung
o	U+006F	{{#if:latin small letter o | latin small letter o | }}	Lateinischer Kleinbuchstabe o
°	U+00B0	{{#if:degree sign | degree sign | }}	Gradzeichen
ο	U+03BF	{{#if:greek small letter omicron | greek small letter omicron | }}	Griechischer Kleinbuchstabe ο
о	U+043E	{{#if:cyrillic small letter о | cyrillic small letter о | }}	Kyrillischer Kleinbuchstabe о
ₒ	U+2092	{{#if:latin subscript small letter o | latin subscript small letter o | }}	Tiefgestellter lateinischer Kleinbuchstabe o
○	U+25CB	{{#if:white circle | white circle | }}	Weißer Kreis
◦	U+25E6	{{#if:white bullet | white bullet | }}	Weißes Aufzählungszeichen
⚬	U+26AC	{{#if:medium small white circle | medium small white circle | }}	Mittlerer kleiner weißer Kreis
。	U+3002	{{#if:ideographic full stop | ideographic full stop | }}	Satzende in CJK-Schriftarten

Einzelnachweise

<references />

Weblinks

• Verkettungszeichen in Unicode